Дифференциальные уравнения

1.

Дифференциальные
уравнения.
Лектор
профессор
кафедры математических методов обеспечения
безопасности систем
Маня Альбертовна Зироян

2.

Дифференциальные уравнения
1. Понятие дифференциального уравнения
Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
3. Уравнения первого порядка: определение, общее и
частное решения
4. Задача Коши. Существование и единственность
решения задачи Коши
5. Уравнения с разделяющимися переменными и
приводящиеся к ним.
2.

3.

Понятие дифференциального уравнения
О п р е д е л е н и е.
Дифференциальные уравнения (сокращённо – ДУ) – это
уравнения, в которых неизвестная функция входит под знаком
производной или дифференциала.
Основной задачей теории ДУ является разыскание всех
решений данного ДУ и изучение свойств этих решений.
Нахождение решений ДУ называется интегрированием
этого уравнения.

4.

Дифференциальные уравнения
разделяются на две группы:
обыкновенные и в частных производных:
Уравнения, содержащие
производные от
неизвестной функции
лишь одной независимой
переменной, называются
обыкновенными
дифференциальными
уравнениями.
Уравнения, содержащие
частные производные
от неизвестной
функции по нескольким
независимым
переменным,
называются
дифференциальными
уравнениями в частных
производных.
4

5.

Основные определения
Определение 1.
Дифференциальным уравнением порядка n
называется уравнение вида
F ( x, y, y , , y(n) ) 0
Определение 2.
Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной,
входящей в уравнение.
Определение 4.
Решением дифференциального уравнения (1)
называется функция y (x) , которая
удовлетворяет уравнению, то есть
F ( x, ( x), ( x), , ( x)) 0
( n)
(1)
при x (a , b)
Определение 3.
Уравнение вида
y(n) f ( x, y, y , , y(n 1) )
называется уравнением
разрешённым относительно
старшей производной.
В частности:
при n=1
y f ( x, y)
(2)

6.

Примеры ДУ различных порядков
y 2 x
y x 4 y 3 23 y 0
3
2
y x y xy x ln x
y
4
y 1 x y
5
3
6

7.

Пример.
Проверить, что функции