Методическая разработка темы: «Показательная функция»
Содержание
Показательная функция
Определение
Свойства показательной функции
График показательной функции
Показательные уравнения
Определение
Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида
Вынесение за скобки степени с меньшим показателем
Замена переменной
Деление на показательную функцию
Определение
Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:
Типовые задачи
Задача 1 Построить график функции y = 2x
Задача 2 Сравнить числа
Задача 3 Сравнить число с 1.
Задача 4 Cравнить число р с 1
Простейшие показательные уравнения
Вынесение за скобки степени с меньшим показателем
Замена переменной (сл.1)
Замена переменной (сл. 2)
Деление на показательную функцию
Деление на показательную функцию
Простейшие показательные неравенства
Двойные неравенства
Решение показательных неравенств
Решение показательных неравенств
Тесты по темам:
Литература
876.00K
Категория: МатематикаМатематика

Методическая разработка темы: «Показательная функция»

1. Методическая разработка темы: «Показательная функция»

2. Содержание

• Показательная функция
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
• Типовые задачи
• Тесты
• Домашняя контрольная работа

3. Показательная функция

Определение
Свойства
График.
Содержание

4. Определение

Показательная функция – это
x
функция вида
,
y a
где x – переменная,
a - заданное число, a >0, a 1.
Примеры:
у 3 ;
х
х
1
у ;
2
у 0,4
х
к теме

5. Свойства показательной функции

Свойства показательной
х
функции у а
1. Область определения:
все действительные числа
D(y) = R;
2. Множество значений:
все положительные числа
E(y) = (0; + ∞);
3. При a > 1 функция возрастающая;
при 0 < a < 1 функция убывающая.
к теме

6. График показательной функции

Т.к. а 1 , то график любой показательной
функции проходит через точку (0; 1)
0
а 1
0 а 1
у
у
1
0
х
1
0
х
к теме

7. Показательные уравнения

Определение
Простейшие
уравнения
Способы решения
сложных уравнений
Содержание

8. Определение

Уравнение, в котором
переменная содержится в
показателе степени, называется
показательным.
Примеры:
2 8; 9 5 3 6 0
х
х
х
к теме

9. Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида

a a , где a 0, a 1.
x
b
Простейшее показательное
уравнение решается с
использованием свойств степени.
a a x b
x
b
к теме

10.

Способы решения сложных
показательных уравнений.
Замена
переменной
Деление на
показательную
функцию
Вынесение
за скобки
степени с
меньшим
показателем
к теме

11. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Данный способ используется,
если соблюдаются два условия:
1) основания степеней
одинаковы;
2) коэффициенты перед
переменной одинаковы
Например:
2
x 1
4 2
решение
x 2
32

12. Замена переменной

При данном способе показательное
уравнение сводится к квадратному.
Способ замены переменной используют, если
а) основания степеней одинаковы;
б) показатель одной из коэффициенты перед
степеней в 2 раза
переменной
больше, чем
противоположны.
у другой.
Например:
Например:
х
2x
2-х
х–1
3 – 4 · 3 – 45 = 0
2
–2
=1
решение
решение

13. Деление на показательную функцию

Данный способ используется, если
основания степеней разные.
x
x
=5 |:5
x
а) в уравнении вида a = b делим на b
Например: 2
х
х
x
решение
б) в уравнении A a + B (ab) + C b = 0
2x
x
2x
2x
делим на b .
Например:
х
х
х
решение
3 25 - 8 15 + 5 9 = 0 | : 9
x

14.

Показательные неравенства
Определение
Простейшие
неравенства
Решение неравенств
Содержание

15. Определение

Показательные неравенства –
это неравенства, в которых
неизвестное содержится в
показателе степени.
Примеры:
3 9;
х
2 5 2
х
х 1
11
к теме

16. Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:

a a
b
a a
b
x
x
a a
x
b
a a
x
b
где a > 0, a 1, b – любое число.
к теме

17.

При решении простейших
неравенств используют свойства
возрастания или убывания
показательной функции.
a a
x b
a 1
x
b
a a
x b
0 a 1
x
b
Для решения более сложных
показательных неравенств используются те
же способы, что и при решении
показательных уравнений.
к теме

18. Типовые задачи

• Показательная функция
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
Содержание

19.

• Построение графика
• Сравнение чисел с использованием свойств
показательной функции
• Сравнение числа с 1
а) аналитический способ;
б) графический способ.
типовые задачи

20. Задача 1 Построить график функции y = 2x

списку задач
Задача 1
x
Построить график функции y = 2
у
x
y
8
-1
1
2
7
0
1
6
1
2
2
4
3
8
5
4
3
2
1
х
-3 -2
-1
0
1
2
3

21. Задача 2 Сравнить числа

Задача 2
1
1
и
Сравнить числа 3 3
2
списку задач
1, 4
Решение
1
3
2 1,41... 1,4
1
0 1
3
Ответ:
1
3
2
1, 4
1
3
2
1, 4
1
3

22. Задача 3 Сравнить число с 1.

списку задач
Задача 3
5
Сравнить число 3 с 1.
Решение
1 3
0
-5 < 0
5
3 3
3 1
Ответ: 3 5 1
0
3 5 1

23. Задача 4 Cравнить число р с 1

р=2
3
2 > 1, то
t
функция у = 2 –
возрастающая.
3
Ответ: 2 > 1.
списку задач
1
р = 2
4
1
0 < 2 < 1, то
функция у =
– убывающая
4
1
Ответ: > 1
2

24.

• Простейшие показательные уравнения
• Уравнения, решаемые вынесением за скобки
степени с меньшим показателем
• Уравнения, решаемые заменой переменной
случай 1;
случай 2.
• Уравнения, решаемые делением на
показательную функцию
случай 1;
случай 2.
типовые задачи

25. Простейшие показательные уравнения

Простейшие показательные
списку задач
уравнения
1). 23 x 4 2 x 7 3х 4 х 7
3х х 7 4 2х 11 х 5,5.
Ответ: - 5,5.
2). 5
x 2 3 x
1 5
х 2 3 х
2
х
3х 0
5
0
х 0,
х х 3 0
х 3.
Ответ: 0; 3.

26. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Вынесение за скобки степени с
списку задач
меньшим показателем
2
x 1
4 2
x 2
32
2 х 2 ( 23 4 1) 32
x + 1 - (x - 2) =
=x+1–x+2=3
2 х 2 (8 4) 32
2 х 2 4 32 | : 4
2 х 2 8
2 х 2 23
х 2 3
х 5
Ответ: 5
к теории

27. Замена переменной (сл.1)

списку задач
основания степеней одинаковы, показатель одной из
степеней в 2 раза больше, чем у другой .
х
2x
3 – 4 · 3 – 45 = 0
t = 3x (t > 0)
t 2 – 4t – 45 = 0
По т. Виета: t1· t 2 = - 45; t1+ t 2 =4
t1 = 9; t 2 = - 5 – посторонний корень
x
x
2
3 = 9; 3 = 3 ; x = 2.
Ответ: 2
к теории

28. Замена переменной (сл. 2)

списку задач
Основания степеней одинаковы,
коэффициенты перед переменной противоположны.
2
2 х
2
х
х 1
1
1
2 2 2 2 1
2
х
t 2 t 0
x
4 t
1
t 2
8 t 2t
2
t 2t 8 0
2
По т. Виета:
t1 t2 8, t1 t2 2
t1 4 - посторонний корень
t2 2
x
2 2
х 1
Ответ: 1
к теории

29. Деление на показательную функцию

а) 2 5 |: 5
х
х
списку задач
x
х
2
1
5
х
2 2
5 5
0
х 0
Ответ: 0
к теории

30. Деление на показательную функцию

3 25 х 8 15 х 5 9 х 0 : 9 х
3 52 х 8 5 x 3 x
5 0

2x
3
3
2x
x
5
5
3 8 5 0
3
3
5
t
3
х
(t 0)
списку задач
3t 2 8t 5 0
D 64 4 3 5 4 2 2
8 2 10 5
t1
;
6
6 3
8 2
t2
1.
6
х
х
5
5
3
3
5
1
3
х 1
5 5
3 3
х
х 0
3t 8t 5 0
2
Ответ: 0; 1.
к теории
0

31.

• Простейшие показательные
неравенства
• Двойные неравенства
• Неравенства, решаемые вынесением за
скобки степени с меньшим показателем
• Неравенства, решаемые заменой
переменной
типовые задачи

32. Простейшие показательные неравенства

списку задач
Простейшие
показательные неравенства
1). 3 9 3 3 x 2
х
x
2
Ответ : х 2.
х
x
1
1 1
1
2).
4
2
2 2
Ответ : х 2.
2
x 2

33. Двойные неравенства

1
33 x 9
3
1
3 x
3 3 3
3 > 1, то 1 3 x 2
2
1 3 x 2 3
4 x 1
Ответ: (- 4; -1).
списку задач

34. Решение показательных неравенств

списку задач
Решение
показательных неравенств
Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим
показателем
3
3
х 3
х 3
3
3
1 х
3 10
3
1 3
(1 3 ) 10
3
х 3
(1 9) 10
х 3
10 10 : 10
х 3
1
х 3
0
3
3
3 > 1, то х 3 0
3
х 3.
Ответ: х >3

35. Решение показательных неравенств

Метод: Замена переменной
1
3 (t 4) t 0
3
3 9 11 3 4
х
х
3 3 11 3 4 0

списку задач
х
3 t (t 0)
2
3t 11t 4 0
х
D 11 4 3 ( 4) 121 48 169 13
2
11 13 2 1
t1
2 3
6 3
t2
11 13 24
4
6
6
2
1
1
x
0 t ;0 3
3
3
1
3 3 ;
х
3>1, то
х 1.
Ответ: х < -1.

36. Тесты по темам:

• Показательная функция и её свойства
• Показательные уравнения
• Показательные неравенства
Содержание

37. Литература

• 1). Ш. А. Алимов. Алгебра и начала
анализа: Учеб. Для 10-11 кл.
общеобразоват. учреждений., М. :
Просвещение, 2007.
• 2). Г. В. Дорофеев. Сборник заданий
для проведения письменного экзамена
по математике за курс средней школы,
М.: ООО «Дрофа», 2002.
English     Русский Правила