«Показательная функция»
Цель:
Определение
Свойства показательной функции
График показательной функции
Показательные уравнения
Определение
Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида
Вынесение за скобки степени с меньшим показателем
Замена переменной
Деление на показательную функцию
Определение
Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:
Задача 1 Построить график функции y = 2x
Задача 2 Сравнить числа
Задача 3 Сравнить число с 1.
Задача 4 Cравнить число р с 1
Простейшие показательные уравнения
Вынесение за скобки степени с меньшим показателем
Замена переменной (1)
Замена переменной (2)
Деление на показательную функцию
Деление на показательную функцию
Простейшие показательные неравенства
Двойные неравенства
Решение показательных неравенств
Решение показательных неравенств
Используемая литература.
818.50K
Категория: МатематикаМатематика

Показательная функция. Рассмотрение основных свойств

1. «Показательная функция»

Учитель математики
МАОУ лицей №3
города Кропоткин
Краснодарского края
Зозуля Елена
Алексеевна

2. Цель:

• Рассмотрение основных свойств
показательной функции.
• Построение графика.
• Решение показательных уравнений.
• Решение показательных неравенств.

3. Определение

Показательная функция – это
x
функция вида
,
y a
где x – переменная,
a - заданное число, a >0, a 1.
Примеры:
у 3 ;
х
х
1
у ;
2
у 0,4
х

4. Свойства показательной функции

Свойства показательной
х
функции у а
1. Область определения:
все действительные числа
D(y) = R;
2. Множество значений:
все положительные числа
E(y) = (0; + ∞);
3. При a > 1 функция возрастающая;
при 0 < a < 1 функция убывающая.

5. График показательной функции

Т.к. а 1 , то график любой показательной
функции проходит через точку (0; 1)
0
0 а 1
а 1
у
у
1
0
х
1
0
х

6. Показательные уравнения

Определение
Простейшие
уравнения
Способы решения
сложных уравнений

7. Определение

Уравнение, в котором
переменная содержится в
показателе степени, называется
показательным.
Примеры:
2 8; 9 5 3 6 0
х
х
х

8. Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида

a a , где a 0, a 1.
x
b
Простейшее показательное
уравнение решается с
использованием свойств степени.
a a x b
x
b

9.

Способы решения сложных
показательных уравнений.
Замена
переменной
Деление на
показательную
функцию
Вынесение
за скобки
степени с
меньшим
показателем

10. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Данный способ используется,
если соблюдаются два условия:
1) основания степеней
одинаковы;
2) коэффициенты перед
переменной одинаковы
Например:
2
x 1
4 2
x 2
32

11. Замена переменной

При данном способе показательное
уравнение сводится к квадратному.
Способ замены переменной используют, если
а) основания степеней одинаковы;
б) показатель одной из коэффициенты перед
степеней в 2 раза
переменной
больше, чем
противоположны.
у другой.
Например:
Например:
х
2x
2-х
х–1
3 – 4 · 3 – 45 = 0
2
–2
=1

12. Деление на показательную функцию

Данный способ используется, если
основания степеней разные.
x
x
а) в уравнении вида a = b делим на b
Например:
х
х
2 =5 |:5
x
x
б) в уравнении A a + B (ab) + C b = 0
2x
x
2x
2x
делим на b .
Например:
х
х
х
3 25 - 8 15 + 5 9 = 0 | : 9
x

13.

Показательные неравенства
Определение
Простейшие
неравенства
Решение неравенств

14. Определение

Показательные неравенства –
это неравенства, в которых
неизвестное содержится в
показателе степени.
Примеры:
3 9;
х
2 5 2
х
х 1
11

15. Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:

a a
b
a a
b
x
x
a a
x
b
a a
x
b
где a > 0, a 1, b – любое число.

16.

При решении простейших
неравенств используют свойства
возрастания или убывания
показательной функции.
a a
x b
a 1
x
b
a
x b
0 a 1
a
x
b
Для решения более сложных
показательных неравенств используются те
же способы, что и при решении
показательных уравнений.

17.

• Построение графика
• Сравнение чисел с использованием свойств
показательной функции
• Сравнение числа с 1
а) аналитический способ;
б) графический способ.

18. Задача 1 Построить график функции y = 2x

Задача 1
x
Построить график функции y = 2
у
x
y
8
-1
1
2
7
0
1
6
1
2
2
4
3
8
5
4
3
2
1
х
-3 -2
-1
0
1
2
3

19. Задача 2 Сравнить числа

Задача 2
1
Сравнить числа 3
2
1, 4
1
и
3
Решение
1
3
2 1,41... 1,4
0
1
1
3
Ответ:
1
3
2
1, 4
1
3
2
1, 4
1
3

20. Задача 3 Сравнить число с 1.

Задача 3
5
Сравнить число 3 с 1.
Решение
1 3
0
-5 < 0
5
3 3
3 1
Ответ: 3 5 1
0
5
3 1

21. Задача 4 Cравнить число р с 1

р=2
р=
3
2 > 1, то
t
функция у = 2 –
возрастающая.
3
Ответ: 2 > 1.
1
2
4
1
2
0 < < 1, то
функция у =
– убывающая
4
1
Ответ: > 1
2

22.

• Простейшие показательные уравнения
• Уравнения, решаемые вынесением за скобки
степени с меньшим показателем
• Уравнения, решаемые заменой переменной
случай 1;
случай 2.
• Уравнения, решаемые делением на
показательную функцию
случай 1;
случай 2.

23. Простейшие показательные уравнения

1). 23 x 4 2 x 7 3х 4 х 7
3х х 7 4 2х 11 х 5,5.
Ответ: - 5,5.
2). 5
x 2 3 x
1 5
х 2 3 х
2
х
3х 0
5
0
х 0,
х х 3 0
х 3.
Ответ: 0; 3.

24. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

2
x 1
4 2
x 2
32
2 х 2 ( 23 4 1) 32
2 х 2 (8 4) 32
2 х 2 4 32 | : 4
2 х 2 8
2 х 2 23
х 2 3
х 5
Ответ: 5
x + 1 - (x - 2) =
=x+1–x+2=3

25. Замена переменной (1)

основания степеней одинаковы, показатель одной из
степеней в 2 раза больше, чем у другой .
х
2x
3 – 4 · 3 – 45 = 0
t = 3x (t > 0)
t 2 – 4t – 45 = 0
По т. Виета: t1· t 2 = - 45; t1+ t 2 =4
t1 = 9; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию
x
x
2
3 = 9; 3 = 3 ; x = 2.
Ответ: 2

26. Замена переменной (2)

Основания степеней одинаковы,
коэффициенты перед переменной противоположны.
2
2 х
2
х
х 1
1
1
2 2 2 2 1
t 2 x t 0
2
х
4 t
1
t 2
8 t 2t
2
t 2t 8 0
2
По т. Виета:
t1 t2 8, t1 t2 2
t1 4
- Не удовлетворяет условию
t2 2
x
2 2
х 1
Ответ: 1

27. Деление на показательную функцию

а) 2 5 |: 5
х
х
х
2
1
5
х
2 2
5 5
х 0
Ответ: 0
0
x

28. Деление на показательную функцию

3 25 х 8 15 х 5 9 х 0 : 9 х
3 52 х 8 5 x 3 x
5 0

2x
3
3
2x
x
5
5
3 8 5 0
3
3
5
t
3
х
(t 0)
3t 8t 5 0
2
D 64 4 3 5 4 2 2
8 2 10 5
t1
;
6
6 3
х
5
5
3
3
х 1
8 2
t2
1.
6
х
5
1
3
х
5 5
3 3
х 0
3t 8t 5 0
2
Ответ: 0; 1.
0

29.

• Простейшие показательные
неравенства
• Двойные неравенства
• Неравенства, решаемые вынесением за
скобки степени с меньшим показателем
• Неравенства, решаемые заменой
переменной

30. Простейшие показательные неравенства

1). 3 9 3 3 x 2
х
x
2
Ответ : х 2.
х
x
1
1 1
1
2).
4
2
2 2
Ответ : х 2.
2
x 2

31. Двойные неравенства

1
3 x
3 9
3
1
3 x
3 3 3
3 > 1, то 1 3 x 2
2
1 3 x 2 3
4 x 1
Ответ: (- 4; -1).

32. Решение показательных неравенств

Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим
показателем
3
3
х 3
х 3
3
3
1 х
3 10
3
1 3
(1 3 ) 10
3
х 3
(1 9) 10
х 3
10 10
: 10
3
3
х 3
х 3
1
3
Т.к.
3 > 1, то знак неравенства
остается прежним
х 3.
Ответ: х >3
0
х 3 0

33. Решение показательных неравенств

Метод: Замена переменной
1
3 (t 4) t 0
3
3 9 11 3 4
х
х
3 3 11 3 4 0

х
3 t (t 0)
2
3t 11t 4 0
х
D 11 4 3 ( 4) 121 48 169 13
2
11 13 2 1
t1
2 3
6 3
11 13 24
t2
4
6
6
2
1
1
x
0 t ;0 3
3
3
1
3 3 ;
х
3>1, то
х 1.
Ответ: х < -1.

34. Используемая литература.

• А.Г.Мордкович: Алгебра и начала
математического анализа(профильный
уровень), 10класс,2011г.
• А.Н. Колмогоров: Алгебра и начала
математического анализа,2008г.
• Интернет
English     Русский Правила