Виды уравнений и способы их решений

1.

Математика
Презентация на тему виды уравнений и
способы их решений
Выполнил ученик МОУ СОШ 9 им.
М. И. Хилкова Лорсанов Роман

2.

Введение
Актуальность темы: Большинство жизненных задач
сводится к решению различных видов уравнений.
Исходя из этого я хочу помочь закрепить знания для
студентов и сделать картотеку с решением различных
уравнений.
Цель проекта: изучить различные виды уравнений и понять
способы их решения
Задачи:
1. Изучить литературу и информацию из интернета по
данному вопросу.
2. Выбрать и разобрать более распространенные виды
уравнений.
3. Создать картотеку с решением различных видов
уравнений.

3.

Определение
• Уравнение - это равенство, содержащее
в себе переменную, значение которой
требуется найти. Это значение должно
быть таким, чтобы при его подстановке в
исходное уравнение получалось верное
числовое равенство. Уравнение имеет
вид f(x)=g(x)
• Решить уравнение — значит найти все
его корни или доказать, что корней нет

4.

Виды уравнений
1.Линейное уравнение
2.Квадратное уравнение.
2.1.Полное квадратное уравнение
2.2.Неполное квадратное уравнение
2.3.Привидённое квадратное уравнение
3.Биквадратное уравнение.
4.Рациональное уравнение.
5.Иррациональное уравнение
6.Уравнение, содержащие неизвестное х под
знаком модуля.
7.Распадающееся уравнение.
8. Показательное уравнение.
9. Логарифмическое уравнение.
10. Тригонометрическое уравнение.

5.

Линейное уравнение
Линейное уравнение.
ax + b = 0
ax = -b
x = -b/a
Пример решения.
2x + 4 = 0
2x = -4
x=x = -2
Ответ: х = -2

6.

Стандартные способы решения уравнений
• Через дискриминант(D)(Полное
квадратное уравнение, а ≠ 1)
• Через вынесение общего
множителя(неполное квадратное
уравнение, в котором один из
коэффициентов кроме а = 0
• Через теорему Виета(приведённое
квадратное уравнение, где
коэффициент а = 1)

7.

Решение полного квадратного уравнения
Пример решения.
3x² - 10x + 3 = 0
D = b² - 4ac = 100-36=64
x₁ = = = 9
x₂ = = = 1
Ответ: x₁ = 9, x₂ = 1

8.

Решение неполного квадратного уравнения
• Неполное квадратное
уравнение
• Неполным называется
такое квадратное
уравнение, в
котором хотя бы
один из
коэффициентов,
кроме старшего
(либо второй
коэффициент, либо
свободный член),
равен нулю
-x² + 9 = 0 (*(-1))
x² – 9 = 0
x² = 9
x=
x=
Ответ: x = 3,x = -3

9.

Решение приведённого квадратного уравнения
Привидённое
квадратное
уравнение(a = 1)
1 способ – решить как
обычное квадратное
уравнение
2 способ – решить
через теорему Виета
x² - 8x + 15 = 0
1) D = b²-4ac= 64–60=4
x₁ = = = 5
x₂ = = = 3
2) x₁ + x₂ = 8
x₁ * x₂ = 15
x₁ = 5, x₂ = 3
Ответ: x₁ = 5, x₂ = 3

10.

Виды нестандартных способов решения квадратных уравнений
Нестандартные способы решение
квадратных уравнений:
• Решение через коэффициенты
уравнения
• Решение с помощью графического
способа
• Решение с помощью выделения полного
квадрата

11.

Решение квадратного
уравнений с помощью его
коэффициентов.
Свойства коэффициентов
квадратного уравнения.
2) Если a + c = b, то х1 = -1, х2 =
-с / a
1) Если сумма коэффициентов
равна нулю, то х1 = 1, х2 = с/a
Вот пара из их:
1) Если сумма
коэффициентов равна
нулю, то х1 = 1, х2 =
с/a
2) Если a + c = b, то х1 = -1,
х2 = -с / a
2x² + 1x – 3 = 0
a = 2, b = 1, c = -3
a + b + c = 0, значит:
x₁ = 1, x₂ = c/a = - = -1,5
Ответ: x₁ = 1, x₂ = -1,5

12.

Решение уравнения методом выделения полного квадрата
Решение уравнения методом
выделения полного квадрата.
Выделением полного
квадрата из квадратного
трёхчлена
ax²+bx+c называется
процедура, в результате
которой трёхчлен приводится
к виду
a(x-x₀) + y₀ , где x₀
и y₀ некоторые вещественные
числа.
x² - 6x + 8
Заметим, что 6x = 2*3*x и в
выражении x²-6x не хватает
слагаемого 3², чтобы записать
квадрат разности x² - 6x + 3² = (x3)². Тогда к исходному
квадратному трёхчлену добавим
3²=9, после чего выделим
квадрат разности (x-3)² и
суммируем оставшиеся
подобные слагаемые
x²-6x+8=x²-2*3*x+9-9+8=(x-3)²-1
Таким образом, мы
привели квадратный трёхчлен
к виду a(x-x₀) + y₀ , где а=1, x₀=3 и
y₀ =-1

13.

Решение квадратного уравнений с помощью графика функции
Решение квадратного уравнений с помощью
графика функции.
Если в уравнении х2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую
часть, то получим
х2 = - px - q.
Построим графики зависимости у =х2 и у =-px
-q.
График первой зависимости - парабола,
проходящая через начало координат.
График второй зависимости - прямая.
Возможные случаи:
• - прямая и парабола могут пересекаться
в двух точках
• - прямая и парабола могут касаться
(только одна общая точка)
• - прямая и парабола не имеют общих
точек

14.

15.

Биквадратное уравнение.
aх4 – bх2 + c = 0
Замена x2 = t
at2 – bt + c = 0
Решаем квадратное
уравнение относительно t
D = b2 – 4ac(3 случая)
D > 0(2 корня,t1,t2)
D = 0(t1 = t2)
D < 0(Нет действительных
корней)
Подставляем значение t в
замену
Определяем корни.
x⁴ - 5x² + 4 = 0
x² = t
t² - 5t + 4 = 0
D = b² - 4ac = 25 – 16 = 9
t₁ = = = 4
t₂ = = = 1
x² = 4
x² = 1
x=
x=
Ответ: x = 2, x = -2, x = 1, x = 1.

16.

Рациональное уравнение.
1)Переносим все части
уравнения в левую
сторону
2)Преобразуем левую часть
уравнения к виду
алгебраической дроби
3)Решаем уравнение p(x) =
0
4)Для каждого корня
выполняем проверку
ОДЗ:
x + 2 ≠ 0 , x ≠ -2
=0
x₁ + x₂ = -6
x₁ * x₂ = 8
x₁ = -4, x₂ = -2
x = -2 – не удовлетворяет
ОДЗ
x = -4
-4 + 2 = -2
Ответ: x = -4

17.

Иррациональное уравнение
1)Возводим обе части уравнения в квадрат
2)Упрощаем полученное уравнение
3)Решаем уравнение.
4)Выполняем проверку корней.

18.

Решение иррац уравнения
()² = (3 – x)²
x – 1 = 9 – 6x + x²
x² - 7x + 10 = 0
D = b² - 4ac = 49 – 40 = 9
x₁ = = = 5
x₂ = = = 2
Проверка:
2
x = 5 – не решение уравнения
1=1
Ответ: x = 2

19.

Уравнение с модулем
1)Рассматриваем два
варианта уравнения с
модулем.
2)Решаем каждое
уравнение отдельно.
3)Выполняем проверку
корней.
3–x=5
-x = 5 - 3
-x = 2
x = -2
Проверка:
=5
5=5
3 – x = -5
-x = -5 - 3
-x = - 8
x=8
5=5
Ответ: x = -2, x = 8

20.

Распадающееся
уравнение.(A(x) * B(x) =
0)
1)Решаем каждое из
уравнение отдельно.
2)Находим корни и
объединяем их
(x² + x + 1)(x – 1) = 0
x² + x + 1 = 0
x-1=0
D = b²-4ac = -3 x = 1
Корней нет,так как D < 0
Ответ: x = 1

21.

Показательное уравнение.
Показательными
называются уравнения, в
которых переменная
находится в показателе
степени. Простейшее
уравнение такого вида: =
b , где а ≠ 1 и
Чтобы решить такой вид
уравнение нужно привести
обе части уравнения либо к
общему основанию, либо к
общей степени.
= 64
64 = 4*4*4 =
=
x=3
Ответ: x = 3

22.

Логарифмическое
уравнение.
Уравнения,
содержащие в том или
ином виде логарифмы
от некоторого
выражения, зависящего
от x, называются
логарифмическими.
????????????????

23.

• Тригонометрическое
уравнение
?????????????????

24.

Заключение
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с
развитием общества меняются и взгляды людей, возникают
новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле
исключением. Появление компьютеров внесло свои
корректировки в способы решения уравнений и значительно их
облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой
(экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных
способов решения уравнений необходимо знать. Использование
уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое
применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех
новейших технологиях.
В данной работе были представлены виды уравнений до 10 класса.
Я надеюсь, что мой проект сможет послужить неплохим
справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В
заключении хотелось бы отметить, что при написании данного
проекта я не ставил себе цели показать все виды уравнений, а
излагал лишь имеющийся у меня материал.