Методы решения тригонометрических уравнений

1.

Методы решения
тригонометрических
уравнений

2.

Методы решения тригонометрических
уравнений
1.Приведение уравнения к однородному.
2.Разложение левой части уравнения на множители.
3.Приведение к квадратному уравнению.
4.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
2

3.

Простейшие тригонометрические уравнения
sin x a
Если a 1 , то
уравнение не имеет
корней
a 1 , то
Если
x 1 arcsin a n,
n Z
n

4.

Простейшие тригонометрические уравнения
Частные случаи
sin x 1
x
2
2 k , k Z
sin x 0
sin x 1
x k , k Z
x
2
2 k , k Z

5.

Простейшие тригонометрические уравнения
cos x a
Если a 1 , то
уравнение не имеет
корней
Если
a 1 , то
x arccos a 2 n,
n Z

6.

Простейшие тригонометрические уравнения
Частные случаи
cos x 1
cos x 0
x 2 k , k Z
x
2
k , k Z
cos x 1
x 2 k , k Z

7.

Простейшие тригонометрические уравнения
tgx a
ctgx a
x arctga n, n Z
x arcctga n, n Z

8.

А)
Б)
1)
2)
В)
3)
Г)
4)

9.

А)
2)
Б)
1)
В)
4)
Г)
3)

10.

π
+2πk, k ∈ Z
2
1) sin x = 0
а)
2) cos x = -1
б)
3) sin x = 1
в)
π
+πk, k ∈ Z
2
4) tg x = 1
г)
π+ 2πk, k∈ Z
д)
π
+πk, k ∈ Z
4
5) ctgx = 0
πk, k∈ Z

11.

12.

Методы решения тригонометрических
уравнений
Некоторые типы тригонометрических уравнений.
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным,
относительно cos х = t, sin х = t.
A sin2 x + B cosx + C = 0
A cos2 x + В sinx + C = 0
Решаются методом введения новой переменной.
2.Однородные уравнения первой и второй степени.
I степени.
II степени.
A sinx + B cosx = 0 : cosx
A tg x + B = 0
A sin2 x + B sinx cosx + A cos2 x = 0 : cos2x
A tg2 x + B tgx + C = 0
Решаются методом разложения на множители и методом
введения новой переменной.
12

13.

Методы решения тригонометрических
уравнений
3. Уравнение вида:
А, В, С 0
А sinx + B cosx = C.
Применимы все методы.
4. Понижение степени.
А cos2x + Вcos2 x = C.
A cos2x + B sin 2 x = C.
Решаются методом разложения на множители.
2
A sin2x + B sin x = C.
A sin2x + Bcos2 x = C.
Сводятся к однородным уравнениям С = С(sin 2 x+ cos2 x )
13

14.

Методы решения тригонометрических
уравнений
Формулы.
Универсальная подстановка.
x
2
cosx
=
;
sinx=
;
x
2
x
1+ tg
1+ tg2
2
2
1-tg2
x
2tg
2
2tg
tgx=
x
2
1− tg 2
x
2
;
х + 2 n;
Проверка обязательна!
Понижение степени.
cos x = (1 + cos2x ) : 2
sin 2 x
= (1 – cos 2x) : 2
2
Метод вспомогательного аргумента.
√2
С= a +b ;
a cosx +b sinx заменим на C sin(x+ ), где
b
а
;
- вспомогательный аргумент.
cos
=
sin = ;
С
2
С
14

15.

Проблемы ,возникающие при решении
тригонометрических уравнений
1.Потеря корней:
делим на g(х).
опасные формулы (универсальная подстановка).
Этими операциями мы сужаем область определения.
2. Лишние корни:
возводим в четную степень.
умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).
Этими операциями мы расширяем область определения.
15

16.

Задача. Решите уравнение
различными способами: sin x – cos x = 1.
16

17.

Способ первый. Приведение уравнения к
однородному.
sin x – cos x = 1
sin x = 2 sin x/2 cos x/2,
cos x = cos 2 x/2 - sin 2 x/2,
1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2.
Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого
уравнения на
,
т.к., если
что противоречит тождеству
.
Получим:
17

18.

Способ второй. Разложение левой части
уравнения на множители: sin x – cos x = 1
sin x = 2 sin x/2 cos x/2
cos x = 2cos 2 x/2 - 1
Далее так, как в первом способе.
18

19.

Способ третий. Приведение к квадратному
уравнению относительно одной функции.
sin x - cos x = 1
Возведем в квадрат:
или
19

20.

Внимание! При решении уравнения обе части уравнения
возводились в квадрат, что могло привести к появлению
посторонних решений, поэтому необходима проверка.
.
Сделаем проверку
Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений
Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не
являются посторонними. Проверять не будем.
Проверим:
Левая часть:
а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.
20

21.

Способ четвертый.Возведение обеих частей
уравнения в квадрат.
sin x – cos x = 1
sin2x - 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1
1 – 2sin x cos x = 1,
2sin x cos x = 0,
sin x = 0
или cos x =0
x = n, n Z
x= /2 + n, n Z
Ответ: x = n, n Z, x= /2 + n, n Z.
21

22.

Проверь себя !
Решите самостоятельно, применяя разные
способы решения одного и того же
тригонометрического уравнения:
1. sin2x + cosx = 0 ;
2. 3 sin x – cos x = 0
3. sin6x + sin3x = 0;
4. sin2x +cos2x = 1;
5. 3sin x + cos x = 1.
22

23.

Человеку, изучающему алгебру
часто
полезнее решить одну и ту же задачу тремя
различными способами, чем решать три –
четыре различные задачи. Решая одну задачу
различными способами, можно путем
сравнивания выяснить, какой из них короче
и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
У. У. Сойер
/английский математик и педагог XX века/
23

24.

Желаю успеха!
24