Полиномиальная формула

1.

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ
ФОРМУЛА

2.

Выведем формулу, дающую разложение (x1 + x2 + … + xm)n.
Имеем (x1 + x2 + … + xm)n = (x1 + x2 + … + xm)(x1 + x2 + … + xm) ...
… (x1 + x2 + … + xm).
Раскроем скобки, выписывая сомножители в порядке их появления.
Очевидно, что при этом получаются всевозможные размещения с
повторениями, составленные из букв x1, x2, …, xm, такие, что в каждое
размещение входит n букв. При этом некоторые из размещений дадут
подобные члены.

3.

4.

5.

При вычислении коэффициентов разложения следует
учитывать, что если последовательность чисел s1, s2, …, sm
получена
из
последовательности
чисел
k1,
k 2,
…,
km
перестановкой,
то
P(s1, s2, …, sm) = P(k1, k2, …, km). Поэтому, например, в
разложении (x + y + z)4 коэффициенты при x2yz и xyz2
одинаковы.
Следовательно, достаточно найти коэффициенты для
таких разбиений n = k1 + k2 + … + km, что k1 k2 … km, а
затем переставлять показатели всеми возможными
способами.

6.

Для использования ПФ нужно сначала
найти все целочисленные
неотрицательные решения уравнения
n = k1 + k2 + … + km
Это равносильно задаче о раскладке n
одинаковых предметов по m ящикам.

7.

8.

9.

10.

Пример 1. Найти разложение (x + y + z)5.
Решение
Число 5 можно разбить на 3 слагаемых пятью способами:
5 = 5 + 0 + 0 = 4 + 1 + 0 = 3 + 2 + 0 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1.
Имеем:

11.

12.

Пример 2. Найти коэффициент при х7 после раскрытия
скобок и приведения подобных членов в выражении
(2 + x3 + х4)13.
Решение
Разложение имеет вид:
P( k , k , k )2 x x
k1
k1 k2 k3 13
1
2
3 k2
4k 3
3
При этом 3k2 + 4k3 = 7.
Это возможно лишь при k1 = 11, k2 = 1, k3 = 1.
Найдем полиномиальный коэффициент Р(11, 1, 1) = 156.
Тогда общий коэффициент при х7 равен 211*156 = 319488.

13.

Если в полиномиальной формуле положить
х1=х2=…=хm=1, то получим