Общие методы решения неравенств. Линейные неравенства

1.

2.

Решение
большинства
неравенств
сводится к решению соответствующих
уравнений. Рассмотрим решение линейных
неравенств. Некоторые неравенства обычно
требуется решить без дополнительных
условий, а есть неравенства которые часто
приходится решать совершив алгебраические
преобразования,
выбирать
решения
удовлетворяющие дополнительным условиям,
а также решать неравенства и системы
неравенств с параметром.

3.

Определение. Всякое значение неизвестного, при
котором данное неравенство с неизвестным
обращается в верное числовое неравенство,
называется решением неравенства.
Решить неравенство - значит найти все его
решения или доказать, что их нет.
Определение. Неравенства вида ах+в> 0 ( , , ) , где
х - неизвестное, а и в – некоторые числа (а 0)
называются неравенствами первой степени или
линейными неравенствами.

4.

1
• Если а>в и в>с, то а>c
2
• Если а>в, то а+с>в+с
3
• Если а>в и с>0 ,то ас>вс
4
• Если а>в, с<0 ,то ас<вс

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Решение неравенств методом промежутков основано на
следующем свойстве функций: Если функция непрерывна на промежутке
(х1 ; х2 ) и между точками она не обращается в нуль, то в промежутке
(х1 ; х2 ) функция сохраняет знак.
Метод нахождения интервалов знакопостоянства заключается в
следующем.
На числовой оси отмечают все точки, в которых функция f(х)
обращается в нуль, либо терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую
прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых f(х)
непрерывна и не обращается в нуль, а значит сохраняет знак.
Для определения знака достаточно определить знак функции в
какой – нибудь внутренней точке рассматриваемого промежутка.

17.

Пусть требуется решить неравенство:
*(х-х1 )(х-х2 )… (х-хп )>о, где х1 ; х2 ;…хп -фиксированные числа, причем
х1 <х2 < … <хп .Знаки выражения *(х-х1 )(х-х2 )… (х-хп )на промежутках будут
такими: на последнем (+), на предпоследнем (-), на третьем от конца
(+) и т.д.
Решением неравенства (*) будет объединение всех
промежутков, в которых поставлен знак (+). В случае противоположного
неравенства берутся промежутки с минусом.
Если Р(х)-многочлен, то неравенство Р(х)>о разложением Р(х) на
линейные х-хi и квадратичные х²+pх+q множители можно свести к
неравенству (*), правда, при этом не все хi обязательно будут
различными. Квадратный множитель будет иметь знак (+).
Теперь нужно на числовую ось нанести значения корней P(х) и
поступать, как в предыдущем случае с учетом знаков квадратных
множителей (в отличие от предыдущего случая теперь знаки могут не
чередоваться).

18.

В случаях ,если неравенство может быть
сведено к неравенству вида f(q(х)), то
заменой t=q(х) оно сводится к неравенству
f(t)>о, которое, возможно решается проще.
По полученным значениям t дальше
определяется множество значений х
удовлетворяющих исходному неравенству.

19.

Этот метод используется в тех случаях, когда
неравенство
допускает
простую
геометрическую интерпретацию, т. е. можно
достаточно просто построить графики левой и
правой частей неравенства f(х)<q(х). Тогда
решением неравенства будет множество
значений аргумента х, для которых точка
графика функции q(х) находится выше
соответствующей точки графика f(х). Этот
метод требует аналитического обоснования.

20.

При решении неравенств, содержащих параметр,
следует обращать внимание на то, что
формальное решение, т.е. решение, при котором
левые и правые части неравенства делятся на
выражение,
содержащее
параметр
или
переменную, может привести к неверному
результату. Необходимо следить за знаком
выражения, на которое делятся
обе части
неравенства.

21.

3) Актуализация новых ЗУН

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

1) Что значит решить неравенство?
2) Какие неравенства называются линейными?
3) Что нового узнали на уроке?