Задачи по планиметрии

1.

2
Задачи по планиметрии
Задание вида С4 единого экзамена проверяет умение решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), используя различные сведения о треугольниках,
четырехугольниках и окружностях.
Замечания об основных принципах
решения задач по планиметрии
1. Решение задачи следует начинать с построения чертежа, который
наиболее правильно и полно отражает содержание задачи.
2. На чертеже нужно отметить все известные длины и углы.
3. Для равных неизвестных длин или углов следует ввести обозначения и отметить их на чертеже.
4. Если на рисунке есть параллельные линии, пересекаемые двумя
прямыми (например, диагонали в параллелограмме или трапеции), то
нужно поискать равные углы и можно использовать подобие треугольников.
5. Подобные треугольники появляются и в том случае, когда в треугольнике проведены две высоты.
6. Если окружность вписана в треугольник или четырехугольник, то
следует использовать равенство соответствующих отрезков касательных.
7. Если окружность описана около треугольника или четырехугольника, то следует использовать свойства центральных и вписанных углов.
8. Радиус окружности, вписанной в треугольник или четырехугольник, можно найти с помощью формулы площади треугольника S = pr .
9. Радиус окружности, описанной около треугольника или четырехугольника, можно найти с помощью теоремы синусов или формулы
abc
площади треугольника S =
.
4R
Далее приведены задания из дидактических и тренировочных работ,
подготовленных МИОО.
Задания
1. Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, A = 60 . Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон
параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла.
Найдите площадь четырехугольника ABOD.
2. Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках М и Т соответственно и образующая с прямой АВ угол a , tg a = 3 . Найдите площадь треугольника
ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 4.
3. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100 ,
AB = CD = 35 . Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается
стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.
4. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям,
заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.
5. Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из
них лежит точка C , а на другой – точки A и B , причем треугольник
ABC – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна
13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .
6. Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из
них лежит точка C , а на другой – точки A и B , причем треугольник
ABC – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 5.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .
Ниже приведены задания из вариантов ЕГЭ 2010 года.
Задания
7. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD
делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 4 . Найдите BC , если AB = 9 .
8. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD
делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 3 : 7 . Найдите BC , если AB = 15 .
9. Диагонали трапеции равны 13 и 41 , а высота равна 5. Найдите
площадь трапеции.
10. Диагонали трапеции равны 5 и 20 , а высота равна 4. Найдите
площадь трапеции.
11. В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда AB = 8 .
Точка C лежит на хорде AB так, что AC : BC = 1 : 2 . Найдите радиус

2.

3
окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB
в точке C .
12. В окружности, радиус которой равен 80, проведена хорда
AB = 96 . Точка C лежит на хорде AB так, что AC : BC = 1 : 3 .
Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды AB в точке C .
13. В треугольнике ABC , AB = 10 , BC = 4 , CA = 7 . Точка D
лежит на прямой BC так, что BD : DC = 2 : 5 . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD
в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .
14. В треугольнике ABC , AB = 15 , BC = 7 , CA = 9 . Точка D
лежит на прямой BC так, что BD : DC = 5 : 7 . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD
в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .
Ответы и комментарии к заданиям
5 3 13 3
,
. Окружностей две: одна вписана в трапецию, сторона
4
6
которой — указанная биссектриса, вторая — в треугольник с той же
стороной. В одном случае найдите площади треугольников AOB, AOD, в
другом — площади треугольников BOC, COD. 2. 2, 10. Возможны два
случая: указанная прямая пересекает прямую AD за точкой A и за точкой
D. 3. 5, 30. Окружностей две: одна вписана в треугольник ACD, вторая
касается продолжений сторон AC и AD за точками C и D соответственно
и отрезка CD. Выразите AD через AC, AD и CK, используя равенство
отрезков касательных, проведенных из одной точки. 4. 48, 14. Возможны два случая: окружности лежат по одну и по разные стороны от каса1.
тельной. 5.
26 - 4 13 10
. Возможны два случая: AC = BC
,
3
3
и
5- 5
, 1,5. 7. 10,8; 54. Возможны два случая: биссек2
трисы пересекаются внутри и вне параллелограмма. 8. 19,5; 65. 9. 20, 40.
AC = AB . 6.
Пусть AC = 13 , BD = 41 . Возможны два случая: в трапеции угол
при вершине D тупой и острый. Проведите CE параллельно BD, чтобы
CE = BD . Тогда площадь треугольника ACE равна площади трапеции
4
8 32
,
. Возможны два случая: центры окружностей
9 9
лежат по одну сторону и по разные стороны от прямой AB . 12. 6,
7 33
. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке BC и
54.13. ,
2 14
точка D лежит на продолжении отрезка BC за точку B. Выразите отрезки
13 43
DE и DF через AD , BD и CD . 14.
,
.
2 12
ABCD. 10. 2, 10. 11.