Теорема Пифагора

1.

Выполнила: Цыганова Г. А.
школа №568
г. Санкт - Петербург

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны,
натянутой над прямым углом, равен квадратам на
сторонах, заключающих прямой угол«: - дословный
перевод теоремы Пифагора
Пребудет вечной истина,
как скоро Её познает
слабый человек! И ныне
теорема Пифагора Верна,
как и в его далёкий век.
сонет Шамиссо

3.

Геометрия обладает двумя великими сокровищами.
Первое - это теорема Пифагора, которую можно
сравнить с мерой золота.
Иоганн Кеплер

4.

Доказательство 1
Для самого простого доказательства теоремы
Пифагора для прямоугольного треугольника
нужно задать идеальные условия: пусть
треугольник будет не только прямоугольным,
но и равнобедренным. Есть основания
полагать, что именно такой треугольник
первоначально рассматривали математики
древности.
Утверждение «квадрат, построенный на
гипотенузе прямоугольного треугольника,
равновелик сумме квадратов, построенных на
его катетах» можно проиллюстрировать
следующим чертежом:
Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC:
На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех
треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС
построено по квадрату, каждый из которых содержит по два
аналогичных треугольника.

5.

Доказательство 2
Внутри квадрата постройте четыре
прямоугольных треугольника так, как это
обозначено на чертеже. Сторону большого
квадрата, она же гипотенуза, обозначим с. Катеты
треугольника назовем а и b. В соответствии с
чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b).
Используйте формулу площади квадрата S=c2,
чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И
одновременно высчитайте ту же величину, сложив
площадь внутреннего квадрата и площади всех
четырех прямоугольных треугольников: (ab)22+4*1\2*a*b.
Вы можете использовать оба варианта
вычисления площади квадрата, чтобы убедиться:
они дадут одинаковый результат. И это дает вам
право записать, что c2=(a-b)2+4*1\2*a*b. В
результате решения вы получите формулу
теоремы Пифагора c2=a2+b2. Теорема доказана.

6.

Доказательство 3
Это любопытное древнекитайское доказательство
получило название «Стул невесты» - из-за похожей
на стул фигуры, которая получается в результате
всех построений.
Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два
зеленых прямоугольных треугольника, перенести
их к противоположным сторонам квадрата со
стороной с и гипотенузами приложить к
гипотенузам сиреневых треугольников, получится
фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для
наглядности можно то же самое проделать с
бумажными квадратами и треугольниками. Вы
убедитесь, что «стул невесты» образуют два
квадрата: маленькие со стороной b и большой со
стороной a.
Эти построения позволили древнекитайским
математикам и нам вслед за ними прийти к выводу,
что c2=a2+b2.
Рис.1.
Рис. 2.

7.

Доказательство 4
Это еще один способ найти решение для
теоремы Пифагора, опираясь на
геометрию. Называется он «Метод
Гарфилда».
Постройте прямоугольный треугольник
АВС. Нам надо доказать, что
ВС2=АС2+АВ2.
Для этого продолжите катет АС и
постройте отрезок CD, который равен
катету АВ. Опустите перпендикулярный
AD отрезок ED. Отрезки ED и АС равны.
Соедините точки Е и В, а также Е и С и
получите чертеж, как на рисунке.
Чтобы доказать терему, мы вновь
прибегаем к уже опробованному нами
способу: найдем площадь получившейся

8.

Доказательство 4
Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех
треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ,
является не только прямоугольным, но и равносторонним. Не забываем
также, что АВ=CD, АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись
и не перегружать ее. Итак, SABED=2*1/2(AB*AC)+1/2ВС2.
При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее
площадь по формуле: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Для наших вычислений
удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и
CD.
Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между
ними знак равенства: AB*AC+1/2BC2=(DE+AB)*1/2(AC+CD). Используем
уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы
упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC2=1/2(АВ+АС)2. А теперь
раскроем скобки и преобразуем равенство:
AB*AC+1/2BC2=1/2АС2+2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ2. Закончив все
преобразования, получим именно то, что нам и надо:ВС2=АС2+АВ2. Мы
доказали теорему.

9.

Не знаю, чем кончу поэму
Она царит на квадратах,
И как мне печаль избыть:
И песню поет она;
Древнейшую теорему
Та песня влечет куда-то
Никак я не в силах забыть. Геометров древних волна.
Стоит треугольник как
ментор,
И угол прямой в нем есть,
И всем его элементам
Повсюду почет и честь.
Прелестная гипотенуза
Взнеслась так смело в высь!
И с нею в вечном союзе
И все на торжищах света,
Как в огненном кольце,
И все повторяют это:
Ах, а2, b2 , с!
И даже в холодной медузе
Огонь эта песня зажгла,
И все это гипотенузы

10.

Египетская задача о лотосе
"На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем.
Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от
вертикали,
проходящей через точку крепления стебля ко дну."
Над
озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”

11.

Задача Бхаскари
«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

12.

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.

13.

Девятая книга трактата «Математика
в девяти книгах» имеет название
«Гоу-гу» — так назывались катеты
прямоугольного треугольника,
причем гоу — вертикальный катет (в
буквальном переводе — «крюк»), гу —
горизонтальный катет («ребро»,
«связка»). Все 24 задачи этой главы
решаются по правилу «гоу-гу»,
связывающему катеты и гипотенузу
прямоугольного треугольника, то
есть по теореме Пифагора. В
летописях отмечается, что
пифагорова тройка 3; 4; 5 была
известна в Китае около 2200 г. до н.э.

Теорема Пифагора

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.