Лекция №6
План
Роль изучения величин в школьном курсе математики
Понятие величины
Понятие величины
Понятие величины
Замечание
Величина в геометрии
Величины в геометрии основной школы
Замечание
Требования программы
Проблема измерения величин
Виды величин. Аксиоматика
Замечание
Аксиомы меры
Замечание
Этапы изучения
Пропедевтический этап
Пропедевтический этап
Пропедевтический этап
Систематический этап
Сущность процесса измерения
Отличия
Систематический этап
История
История
История
История
623.50K
Категория: МатематикаМатематика

Методика изучения геометрических величин. Лекция №6

1. Лекция №6

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

2. План

1. Роль изучения величин в школьном курсе
математики. Общее понятие величины.
2. Понятие геометрической величины.
3. Требования программы.
4. Проблема измерения величин.
5. Виды величин. Аксиоматика.
6. Этапы изучения.

3. Роль изучения величин в школьном курсе математики

Математика позволяет изучать и описывать
явления окружающего мира.
Количественные модели того или иного
процесса являются наиболее адекватными.
Характерным общим понятием всех таких
моделей является понятие «величина».
Проблема изучения величин в школе
выделена в одну из основных содержательнометодических линий курса геометрии
основной школы.

4. Понятие величины

Понятие величины - одно из
общенаучных понятий.
важнейших
В физике величины – скорость, сопротивление,
в математике – длина, площадь, объем;
в информатике – объем информации;
в экономике
себестоимость;

затраты,
выручка,
прибыль,
в технике – производительность, расход топлива;
в географии – объем осадков, атмосферное давление;
в химии – молярная масса, молярный объем;
в психологии – коэффициент интеллекта и др.

5. Понятие величины

В словаре С.И. Ожегова: «Величина то
(предмет, явление и т.п.), что можно
измерить, исчислить».
А.Н. Крылов писал: «Надо помнить, что
есть множество «величин», то есть того, к
чему приложены понятия «больше» и
«меньше», но величин точно не
измеряемых, например ум и глупость;
красота и безобразие; храбрость и трусость;
находчивость и тупость и т.д.; для
измерения этих величин нет единиц, эти
величины не могут быть числами».

6. Понятие величины

Общее понятие величины – непосредственное
обобщение конкретных величин.
Интуитивно: величина может быть больше или
меньше, две однородные величины могут
складываться, величину можно делить на
произвольное натуральное число, ее можно
измерить (сравнить с другой величиной того же
рода, принятой за единицу измерения).
Однако сформулировать ответ на вопрос, что такое
величина в математических терминах непросто и в
рамках обязательной программы школьное
обучение не должно давать ответ на это вопрос.
В обучении имеют дело с конкретными величинами.

7. Замечание

Позже описательно будут перечислены
аксиомы – свойства общего понятия
величины и отдельно представлены
четыре аксиомы меры величины,
которые возникают в связи с
измерением величин.

8. Величина в геометрии

Понятие величины устанавливает
взаимосвязи между важнейшими
математическими понятиями - числом и
фигурой. При этом:
Величина позволяет перейти от
качественного описательного к
количественному изучению свойств объектов,
то есть математизировать знания об
изучаемом объекте;
Количественное описание – величина –
представляется не только числом, но и
обязательно единицей измерения.

9. Величины в геометрии основной школы

В курсе геометрии основной школы
изучаются
следующие
геометрические
величины:
длина отрезка,
величина угла,
длина окружности,
длина дуги,
площади многоугольника и его частных
видов
(прямоугольника,
треугольника,
параллелограмма, трапеции),
площадь круга.

10. Замечание

В большинстве школьных учебников не
делается различия между понятием
конкретной величины (например, «длина»)
и ее числовым значением, полученным после
измерения.
Поэтому каждое из понятий «длина»,
«площадь», «объем» определяется как
вещественное число, удовлетворяющее
аксиомам меры.

11. Требования программы

Требования к подготовке учащихся,
касающейся изучения и измерения величин в
основной школе:
Ученик должен владеть практическими
навыками использования геометрических
инструментов для изображения фигур, а также
для нахождения длин отрезков и величин
углов;
Решать задачи на вычисление
геометрических величин (длин, углов,
площадей), применяя изученные свойства
фигур и формулы, приводя аргументацию в
ходе решения задачи.

12. Проблема измерения величин

Два основных вопроса:
1) что такое величина (длина, площадь и др.)
- формально-логическая сторона проблемы;
2) с помощью каких инструментов
измеряется величина; по какому закону,
правилу, формуле вычисляется числовое
значение этой величины - прикладная
сторона проблемы.
В школе основной упор делается на прикладную
сторону; ученики имеют дело с конкретными
величинами, иллюстрирующими общее понятие
величины. Для профильных специализированных
классов важен и формально-логический аспект
проблемы.

13. Виды величин. Аксиоматика

Определенные классы величин (класс
скалярных величин, класс векторных
величин и др.) имеют чаще всего
аксиоматическое определение.
Система скалярных величин задается
аксиоматически следующими свойствами:
сравнимостью, аддитивностью,
упорядоченностью, коммутативностью и
ассоциативностью относительно сложения,
монотонностью, существованием разности,
возможностью измерения.

14. Замечание

Эти свойства в явном виде не
формулируются в школе, но выявляются в
ходе решения практических задач
непосредственно при работе с моделями либо
с числовыми значениями величин.

15. Аксиомы меры

Свойства величин, которые проявляются в процессе
измерения, описываются с помощью аксиом меры:
- нормируемости: существование фигуры с мерой,
равной единице;
- неотрицательности: каждой фигуре ставится в
соответствие неотрицательное число;
- инвариантности: равные фигуры имеют равные
меры;
- аддитивности: мера фигуры, составленной из
конечного числа непересекающихся фигур, равна
сумме мер этих фигур.
В курсе геометрии основной школы свойства,
выражающие математическую сущность аксиом
меры, должны быть известны учащимся. Они в
явном или неявном виде находят применение при
изучении конкретных геометрических величин.

16. Замечание

В обучении допускается для упрощения
языка отождествление меры величины с
самой величиной (меры длины с длиной,
меры площади с площадью, меры объема с
объемом).
Поэтому говорят «длина отрезка –
действительное число» вместо «мера длины
отрезка…»
В качестве основных этапов изучения
величин можно выделить пропедевтический
и систематический этапы.

17. Этапы изучения

Пропедевтический этап - курс математики 1-6-х
классов.
Развитие интуитивных представлений о
величинах и их практическом измерении:
непосредственное измерение длин отрезков,
взвешивание, определение объема переливанием,
температуры, измерение величин углов с
помощью транспортира и др.
Таким образом, учащиеся усваивают, что для
величин существуют отношения равенства и
неравенства, их можно складывать, делить на
доли, измерять. То есть на интуитивном уровне
отрабатываются свойства величины.

18. Пропедевтический этап

Шаги формирования представлений
учащихся о величинах:
1. Выяснение и уточнение представлений
школьника о данной величине (обращение
к опыту ребенка).
2. Сравнение однородных величин
(визуально, наложением, приложением,
путем использования различных мерок).
3. Знакомство с единицей измерения
данной величины и с измерительным
прибором.
4. Формирование измерительных умений и
навыков.

19. Пропедевтический этап

5. Сложение и вычитание однородных
величин, выраженных в единицах одного
наименования.
6. Знакомство с новыми единицами
измерения величин, перевод однородных
величин в другие, выраженные в других
единицах измерения.
7. Сложение и вычитание величин,
выраженных в единицах двух наименований.
8.
Умножение и деление величин на число.

20. Пропедевтический этап

Расширение объема геометрических знаний
учащихся связано с понятием угла и с
задачей измерения величин углов.
Введение понятия угла: его необходимо
мыслить сразу неограниченным, величина
угла не зависит от «длины сторон» угла.
Учащиеся приходят к мысли о величине
угла и специальном инструменте для ее
измерения (транспортире).
Терминологическая трудность:
специального термина для обозначения
величины угла не существует.

21. Систематический этап

Систематический этап изучения величин
относится к курсу геометрии основной
школы.
Этап изучения методов косвенного
измерения величин.
Требования к учащемуся:
достаточно отчетливое представление о
сущности процесса измерения, о тесной
связи понятия величины с понятием числа.
Знание факта, что числа в своем
историческом развитии возникли в
результате двух основных операций: счета
предметов и измерения величин.

22. Сущность процесса измерения

Измерить величину – это значит, сравнить ее
с другой, однородной величиной, принятой за
единицу измерения.
Этапы процесса измерения величин:
- Из данного рода величин выбирается
некоторая величина, которую называют
единицей измерения
- Осуществляется процесс измерения –
сравнение данной величины с выбранной
единицей измерения.
В результате измерения величины находят
некоторое число – числовое значение данной
величины при выбранной единице
измерения.

23. Отличия

Следует четко различать геометрическую фигуру,
величину, относящуюся к фигуре и числовое
значение этой величины.
Геометрическая
фигура
Величина
Значение
величины
1. Отрезок АВ
Длина отрезка АВ
Числовое значение
длины отрезка АВ
Обозначение:
[АВ]
Обозначение:
|AB|=4см
4
2. Угол АВС
Величина
АВС
Обозначение:
АВС
Обозначение:
АВС=60
угла
Числовое значение
величины
угла
АВС
60

24. Систематический этап

Развиваются знания и навыки, связанные с
прикладной стороной вопроса:
изучаются факты, позволяющие от
измерений перейти к вычислению величин с
помощью формул;
основное внимание здесь уделяется
вычислению по формулам площадей фигур.
Отражение получает и формальнологическая сторона вопроса: изучаются
основные свойства длин и площадей аналоги аксиом меры.

25. История

Первые единицы длины, как на Руси, так и у других
народов древности, были связаны с различными
частями тела человека: ширина ладони – 1 ладонь, 7
ладоней – 1 локоть, длина первой фаланги большого
пальца руки – 1 дюйм, расстояние между концами
пальцев разведенных в стороны рук – маховая
сажень, расстояние от пальцев левой ноги до конца
пальцев поднятой правой руки - косая сажень.
- «Локоть» – мера длины, которой купцы
пользовались для измерения ткани, египтяне
измеряли локтями подъем Нила;
- «ладонями» английские крестьяне измеряли
высоту лошадей;
- «дюйм» - голландское название. Эта мера
использовалась для измерения небольших предметов
(вспомнить сказку Г.Х.Андерсена «Дюймовочка»).

26. История

Также известны другие единицы измерения: ярд
(этой мере длины 900 лет. Она была равна
расстоянию от конца носа короля Генриха I до
конца пальцев его вытянутой руки). Один ярд равен
трем футам, фут – «ступня», равен 12 дюймам и
др.
Измерения давали разные результаты, потому что
у всех людей разные по размеру руки. Это заметил
английский король Эдуард II, который установил
«законный дюйм, равный длине трех ячменных
зерен, выложенных в ряд». В Россию дюйм пришел в
царствование Петра I. Он равен 2см 5мм.

27. История

У нас сейчас принята система измерений длины, в
основе которой лежит метр и его доли –
метрическая система. Ее создали французы. В
1792г. Академия наук измеряла длину земного
меридиана, проходящего через Париж. В результате
огромной работы была найдена длина парижского
меридиана в «туазах». Парижская Академия наук
предложила принять за единую меру длины новую
единицу измерения – «метр», равную одной
десятимиллионной доле четверти парижского
меридиана. В России первым применил метр как
единицу длины Н.И. Лобачевский. Инициаторами
введения метрической системы мер как
международной были русские ученые и, главным
образом, Б.С. Якоби. Обязательной в нашей стране
эта система стала после 1918г.

28. История

В основной школе, после ознакомления с
иррациональными числами, рассказ о проблеме
соизмеримости величин.
Подобно тому, как единица была общей мерой
целых чисел, величины должны иметь общую
единицу измерения – быть соизмеримыми, каждая
величина отождествлялась с целым числом
составляющих ее единиц. Эта попытка
отождествить целые числа с непрерывными
величинами ни к чему не привела. Решающую роль
в этом сыграло открытие пифагорейцами
иррационального числа. В квадрате со стороной 1
отношение диагонали к стороне равно 2; оно не
выражалось в виде отношения целых чисел.
Сторона и диагональ не имеют общей единицы
измерения и называются несоизмеримыми. В связи
с открытием несоизмеримых величин в греческую
математику проникло понятие бесконечности.
English     Русский Правила