Логическое строение курса геометрии

1. ЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ

2. Сущность геометрии

Геометрия изучает
пространственные свойства
предметов (форму и размеры),
оставляя в стороне все их
остальные признаки.

3. Исторический обзор

«Геометрия была открыта египтянами и
возникла из измерения земли. Это измерение
было им необходимо вследствие разливов Нила,
постоянно смывающих границы (участков
земли). Нет ничего удивительного в том, что эта
наука, как и другие, возникла из потребностей
человека. Всякое возникающее знание из
несовершенного
состояния
переходит
в
совершенное. Зарождаясь путем чувственного
восприятия,
оно
постепенно
становится
предметом нашего рассмотрения, и наконец,
делается достоянием разума».
Евдем Родосский (4 в до н.э.)

4. Исторический обзор

Позднее, начиная с VII в. до н. э., геометрия
усиленно развивалась греческими
математиками, сначала Фалесом,
Пифагором, Демокритом и Платоном, а
затем Евдоксом, Аполлонием, Эратосфеном
и Архимедом.
Достижением разума геометрические
знания стали в логической системе
«Начал» Евклида.

5. Евклид

Аксиоматический метод впервые был
применен при изучении геометрии
александрийским ученым Евклидом,
греческим ученым, жившим в III в. до н.э.
Известно, что он родом из Афин, был
учеником Платона.
По приглашению Птолемея I Сотера переехал
в Александрию и там организовал
математическую школу.
Как свидетельствует Папп Александрийский,
Евклид был человеком мягкого характера,
очень скромным и независимым.

6. Евклид

Однажды царь Птолемей
спросил Евклида: «Нет
ли в геометрии более
короткого пути, чем тот,
который предложен
Евклидом в его книгах?»
На это Евклид якобы
ответил: «Для царей нет
особого пути в
геометрии!»

7. Обзор строения школьной геометрии

Построение курса на содержательной основе
(материал располагается в систематическом
порядке), система определяется трактовками
фундаментальных понятий, развертыванием
последующих определений и доказательством,
система аксиом не вводится, свойства «читаются из
чертежа».
На дедуктивном подходе (на аксиоматике, вводится
постепенно, степень доказательности постепенно
усиливается).
На дедуктивной основе (система аксиом вводится в
начале курса, раскрывается смысл терминов
теорема, аксиома, доказательство). По возможности
проводятся сразу строгие доказательства.

8. Логическое строение курса геометрии

Аксиоматический метод
Геометрия
–
единственная
школьная
дисциплина, которая строится на дедуктивноаксиоматической основе и поэтому предъявляет
повышенные требования к уровню развития
логического мышления.

9. Суть аксиоматического метода изложения геометрии:

Выделяется некоторое число основных
(неопределяемых) понятий (они заимствованы их
опыта);
Свойства их описываются с помощью некоторого
числа утверждений-аксиом;
Все остальные понятия определяются через
основные неопределяемые или ранее введенные
Все остальные утверждения строго (с помощью
дедуктивных рассуждений) доказываются в виде
теорем.

10.

Способ построения теории планиметрии
Аксиоматический метод
Основания
планиметрии
Основные
понятия
объекты
Точки
Отрезки
Фигуры
Логический путь
линейные
отношения
Точка принадлежит фигуре
Точка является концом
отрезка
Два отрезка равны
Связи
отрезков и
точек
1Существует по крайней мере две
точки.
2Для каждых двух точек существует
единственный отрезок, концами
которого являются данные точки.
3У каждого отрезка есть два и только
два конца, а также существуют и
другие принадлежащие ему точки.
4Точка, лежащая внутри отрезка
разбивает его на два отрезка.
5Каждый отрезок можно продолжить
за каждый из его концов.
6Объединение двух отрезков,
имеющих две общие точки, является
отрезком, его концами служат два из
концов этих отрезков.
Равенств
а
отрезков
1Два отрезка, равные
одному и тому же равны.
2На каждом луче от его
начала можно отложить
отрезок, равный
данному, и притом
только один
3Если точка С лежит
внутри АВ, а точка С1 –
внутри отрезка А1В1 и
АС=А1С1, СВ=С1В1, то
АВ=А1В1.
4Для каждых двух
отрезков АВ и РО
существует отрезок АС,
содержащий АВ и
составленный из
конечного числа
отрезков, равных РО.
Утверждени
е
Аксиомы
Непрер
ывност
и
Если дана
бесконечная
последовател
ьность
отрезков и
каждый
отрезок
содержит
последующи
й отрезок, то
существует
точка,
принадлежа
щая всем
отрезкам.
Плоскости
1Аксиома
разбиения
плоскости.
2Аксиома
откладыван
ия угла.
3Аксиома
равенства
отрез углов
Паралле
льности
Евклида
Через
точку, не
лежащую
на данной
прямой,
проходит
единствен
ная
прямая,
не
пересека
ющая
данную
прямую

11. АКСИОМЫ

Положение, принимаемое без доказательства в
качестве исходного, отправного для данной
теории, в частности для геометрии, называется
аксиомой.
Слово «аксиома» происходит от греческого и
означает «достойное признания» ввиду его
очевидности, безусловное. Аксиомы говорят об
основных понятиях теории.
Совокупность аксиом, лежащих в основаниях
теории, называют аксиоматикой этой теории;
говорят так же «система аксиом».
К аксиоматике можно относить и основные
понятия

12. Основные понятия

Понятия могут быть двух типов: одни описывают
объекты, такие как точка, прямая, круг и др.,
другие описывают отношения объектов друг к
другу, такие как прямые пересекаются, точка лежит
внутри круга.
Основные понятия при изложении геометрии можно
выбирать по-разному, например, отрезок, но чаще –
прямая. В качестве аксиом также можно брать
разные положения.
Аксиоматика излагается так, что сначала
перечисляются основные понятия, а потом
формулируются аксиомы.

13. Доказательство

Доказательством называется, вообще, убедительное
рассуждение. Положение (утверждение) теории,
которое доказывается или подлежит доказательству,
называется теоремой.
При строго логическом изложении доказательство
должно опираться только на установленные
положения. А так как они, в свою очередь, тоже
должны на чем-то основываться, то приходим к
тому, что
в основе должны лежать некоторые положения,
принимаемые без доказательства, то есть аксиомы.

14. Определение

Обычно определение состоит в том, что
определяемое понятие разъясняется через другие,
можно сказать, к ним сводится.
Но нельзя сводить одни понятия к другим до
бесконечности.
Поэтому должны быть исходные понятия, которые
принимаются без предварительных определений неопределяемые.
Все, что от них требуется, высказывается в
аксиомах (поэтому говорят, что аксиомы служат
скрытыми определениями основных понятий).

15. Построение школьного курса

Уровень развития абстрактного мышления
недостаточен для усвоения этой формальнологической схемы геометрии.
Поэтому в 7 классе изложение материала
практически во всех современных учебниках
не ведется аксиоматически.
Дается лишь представление об
аксиоматическом изложении: роль
доказательств постепенно усиливается,
определения становятся корректней.

16. Подходы к пониманию неопределяемых понятий

1. Количество измерений
Поверхность мы мысленно отделяем от тела, которому она
принадлежит, лишаем ее толщины. Линию лишаем толщины и
ширины. Точку – измерений.
2. Возможность являться границей
Также точка – граница линии, линия – граница поверхности,
поверхность – граница тела.
3. Порождение движением.
Также точка движением своим порождает линию, линия
движением порождает поверхность, поверхность порождает
тело.
4. Практические представления
Точка – прокол иглой, линия – нить, поверхность – стена,
крыша.

17. Другие подходы

Формально-логический
Полный отказ от интуиции. Понятия
точка, прямая определяются аксиомами.
Интуитивно-экспериментальный
Геометрические факты устанавливаются
путем эксперимента, логические связи
отсутствуют.