Расчет переходных процессов в электрических цепях операторным методом. Переход от изображений к оригиналам

1.

1
Лекция 13
Расчет переходных процессов
в электрических цепях операторным методом.
Переход от изображений к оригиналам.
Формула разложения
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

2.

2
Структуры записи операторного сопротивления
ветви и комплексного сопротивления этой же
ветви
1
Z k rk j Lk
j Ck
1
1
j
Ck j Ck
тождественны, и выражение для операторного
сопротивления Zk(p) можно получить через
комплексное сопротивление Zk путем замены
jω на p.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

3.

3
Сопоставляя выражения законов Кирхгофа в
операторной форме с их выражением в
комплексной форме:
Ik 0
и
Ek I k Z k ,
мы видим, что при нулевых начальных условиях
законы Кирхгофа в операторной форме
одинаковы по виду с этими законами в
комплексной форме.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

4.

4
Поэтому при нулевых начальных условиях
методы расчета любых сложных цепей при
переходных процессах операторным методом
аналогичны методам расчета установившихся
режимов комплексным методом.
При нулевых начальных условиях входное
операторное сопротивление сколь угодно
сложного пассивного двухполюсника можно
получить из комплексного сопротивления этого
двухполюсника заменой jω на p.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

5.

5
Пример 1. При включении цепи r, С на
постоянное напряжение при uC(0+) = 0 имеем
r
U
U p
1
U
I ( p)
.
1
1
r
r
p
pC
rC
C Пользуясь изображением
функции e
t
1
,
p
U
можно записать i (t )
e
r
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
1
t
rC
.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

6.

Пример 2. При включении цепи r, L на
постоянное напряжение U=const имеем
r
U
6
U
U ( p) ;
p
Z ( p ) r pL,
а следовательно при нулевом
L
начальном условии i(0+)=0
операторное изображение тока:
U ( p)
I ( p)
.
Z ( p)
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

7.

U ( p)
U p
U
1
I ( p)
L
Z ( p ) r pL r
p 1 p
r
7
L
1 p 1
U 1 1
1
U 1
r
L r p
L
r p p
p 1 p
p 1 p
r
r
U 1
1
.
r p r p
L
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

8.

8
Пользуясь изображениями функций
A
A
p
и
e
t
1
,
p
можно записать для искомого тока:
U
i (t ) 1 e
r
r
t
L
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

9.

9
Достоинство операторного метода для расчета
переходных процессов, заключающееся в
алгебраизации дифференциальных уравнений
цепи, особенно проявляется при расчете
сложных цепей.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

10.

Обратное преобразование
10
(переход от изображений к оригиналам)
При решении задач электротехники используют:
1. Обратное преобразование Лапласа:
f (t )
1
0 j
F ( p)e dp,
pt
2 j 0 j
где p 0 j .
2. Таблицы соответствия оригиналов и
изображений (приводятся в справочниках);
3. Формулу разложения.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

11.

11
При расчете переходных процессов изображение
можно представить в виде рациональной дроби,
представляющей собой отношение двух
полиномов параметра p:
m 1
M ( p ) a0 p a1 p ... am
X ( p)
. (159)
n
n 1
N ( p)
b0 p b1 p ... bn
m
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

12.

12
Переход от изображения X(p) к функции времени
(оригиналу) x(t), т.е. обратное преобразование,
осуществляется с помощью формулы
разложения.
В случае простых (некратных) корней
знаменателя выражение (159) можно
представить в виде суммы простых дробей, для
которых известны оригиналы:
M ( p)
A1
A2
An
...
, (*)
N ( p) p p1 p p2
p pn
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

13.

где A1, А2 … Аn – неизвестные пока
коэффициенты;
p1, p2 … pn – корни знаменателя, т.е.
корни уравнения N(p)=0.
13
Умножим левую и правую части (*) на (p – p1) и
рассмотрим предел полученного выражения при
p p1
M ( p)( p p1 )
lim
p p1
N ( p)
A1 p p1
A2 p p1
An p p1
lim
lim
... lim
.
p p1
p p1
p p1
p p1
p p2
p pn
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

14.

0
Предел левой части – неопределенность .
0
14
Применяем правило Лопиталя
M ( p)( p p1 ) M ( p) M ( p1 )
lim
.
p p1
N ( p)
N ( p1 )
В правой части остается A1.
M ( p1 )
M ( p2 )
A1
; A2
;
N ( p1 )
N ( p2 )
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
M ( pn )
An
.
N ( pn )
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

15.

Порядок расчета переходных процессов
операторным методом
15
1. Расчет установившегося режима
до коммутации. Определение iL(0–), uC(0–).
2. Формирование уравнения для нахождения
изображения. Два способа.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

16.

16
а) Составление дифференциальных
уравнений для послекоммутационного
состояния цепи для мгновенных значений
токов и напряжений.
Переход к алгебраическим уравнениям для
изображений с помощью преобразования
Лапласа.
б) Составление операторной схемы
замещения и запись для нее операторных
уравнений.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

17.

Порядок расчета переходных процессов
операторным методом
17
1. Расчет установившегося режима
до коммутации. Определение iL(0–), uC(0–).
2. Формирование уравнения для нахождения
изображения. Два способа.
3. Нахождение изображения искомого тока или
напряжения.
4. Переход от изображения I(p) или U(p) к
оригиналу i(t) или u(t) с помощью таблицы
соответствия или формулы разложения.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

18.

18
Операторный метод расчета
переходных процессов
(примеры расчета)
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

19.

19
Пример 1
r1
r
i
L
E
Дано:
E = const;
r1, r, L.
Найти:
i(t)
i
E .
r1+r .
i(t)
0
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №14.
E
r
t
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

20.

20
1. Установившийся режим до коммутации
t 0
r1
i
E
I
;
r1 r
r
L
E
E
i (0 )
;
r1 r
i (0 ) i(0 ).
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №14.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

21.

2. Составление уравнений для изображений
и их решение относительно искомой
неизвестной
r1
i
r
t 0
a)
L
E
21
ur u L E ;
di
ri L E;
dt
E
rI ( p) LpI ( p) Li (0 ) .
p
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №14.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

22.

б) Операторная схема замещения:
I(p)
22
r
Lp
E
p
Li(0+)
E
rI ( p) LpI ( p) Li (0 ).
p
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №14.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

23.

3. Нахождение изображения искомой
неизвестной величины
23
E
rI ( p ) LpI ( p ) Li (0 );
p
E
Li (0 )
E Lpi (0 ) M ( p )
p
I ( p)
.
p r Lp
r Lp
N ( p)
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №14.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

24.

4. Нахождение оригинала i(t), по
формуле разложения
24
M ( pk ) pk t
i (t )
e ;
N ( pk )
N ( p) 0;
p(r Lp) 0;
p1 0;
r
p2 .
L
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №14.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

25.

M ( p) E Lpi (0 );
25
M ( p1 ) E ;
Er
r E
E
;
M ( p2 ) E L
r1 r
L r1 r
N ( p) r 2 Lp;
N ( p1 ) r ;
r
N ( p2 ) r 2 L r.
L
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №14.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.

26.

M ( p1 ) p1t M ( p2 ) p2t
i (t )
e
e
N ( p1 )
N ( p2 )
r
E E
r
E
r r1 L t
e
r
r
E E
E
e
r r r1 r
E
i (0)
;
r1 r
r
t
L
26
;
E
i ( ) .
r
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №14.
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В.