Расчет переходных процессов в электрических цепях классическим методом

1.

1

2.

Условие задачи
Рассчитать все переходные токи
цепи и переходное напряжение
на катушке индуктивности,
построить временные зависимости
входного тока электрической
цепи и напряжения на катушке
индуктивности.
2

3.

Исходные данные:
E, В
R1,Ом R2,Ом R3,Ом L, мГ
10
10
i1
10
100
i3
i2
Е
L
R2
R1
120
R3
3

4.

РЕШЕНИЕ
i1
i3
i2
R2
Е
R1
R3
Составим систему
дифференциальных
L
уравнений по законам
Кирхгофа для режима
после коммутации:
4

5.

Принимаем за базовое
уравнение (3) и при помощи
уравнений (1) и (2) выразим ток
i1 через ток i3
5

6.

6

7.

Уравнение (5) подставим в уравнение (3)
7

8.

В полученное уравнение подставим
числовые значения:
8

9.

Искомый ток
определяется суммой двух
решений:
принуждённой и
свободной
составляющими:
9

10.

Расчёт принуждённой составляющей
Искомый ток в установившемся
после коммутационном режиме
является постоянным, так как
источник ЭДС –
постоянный во времени.
Следовательно, производная тока в
уравнении (6) для установившегося
режима обращается в ноль.
10

11.

Тогда:
Второй способ определения
установившегося тока
Рассмотрим заданную электрическую цепь
после коммутации в установившемся
режиме.
11

12.

i3пр.
i1пр
i2пр.
Е
L
R2
R1
R3
Определим ток i3пр при помощи метода
эквивалентных преобразований
12

13.

i1пр
i3пр
i2пр
Е
R23
R1
R2
R3
13

14.

i1пр
Е
R23
ЭКВ
R1
14

15.

i1пр
Е
R23
U23
R1
15

16.

i3пр.
i1пр
i2пр.
Е
R1
U23
R2
R3
16

17.

Расчёт cвободной составляющей
Уравнение (6) приводим к однородному
и алгебраизируем его:
p
0
Определяем корень
алгебраического уравнения:
17

18.

Вид решения для свободной
составляющей тока:
Полное решение для
искомого тока:
18

19.

Определяем постоянную
интегрирования А при помощи
начальных условий и закона
коммутации.
В соответствии с
I законом коммутации:
19

20.

В данном случае,
так как до коммутации
источник отключён от цепи.
Следовательно, в момент коммутации
Тогда для момента времени t = 0
уравнение (7) приобретает
следующий вид:
20

21.

×0
0(0)
А=–4
Полное решение искомого тока
i3 (t) = 4 – 4е
–150t
21

22.

Определим остальные токи схемы при
помощи исходной системы уравнений.
Из уравнения (5) определим ток i1:
i3 (t) = 4 – 4е –150t
i1 = 6 + 2 –
-150t
2е
i1 (t) = 8 – 2е
–150t
22

23.

Из уравнения (4) определим ток i2 :
i1 = 8 – 2е –150t
i2 = 12 – 8 + 2е
i2 (t) = 4 + 2е
–150t
–150t
23

24.

Проверка:
–150t
i2 (t) = 4 + 2е
+
i3 (t) = 4 – 4е
–150t
=
i1 (t) = 8 – 2е
–150t
24

25.

Определим закон изменения напряжения
–150t
на 3катушке индуктивности
i (t) = 4 – 4е
uL (t) = 60е
–150t
25

26.

Определим время переходного
процесса:
Шаг изменения времени для
построения графических
зависимостей:
26

27.

i1 (t)
0
0,0033333
0,0066666
0,0099999
0,0133332
0,0166665
0,0199998
0,0233331
0,0266664
0,0299997
0,033333
0,0366663
0,0399996
0,0433329
6
6,787
7,264
7,554
7,729
7,836
7,900
7,94
7,963
7,978
7,987
7,992
7,995
7,997
Зависимость входного тока от времени
8,0
значения входного тока в А
t
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,000
0,010
0,020
0,030
0,040
значения времени в сек.
i1 (t)= 8 –2е-150t
27

28.

uL (t) = 60е –150t
uL
0
0,0033333
0,0066666
0,0099999
0,0133332
0,0166665
0,0199998
0,0233331
0,0266664
0,0299997
0,033333
0,0366663
0,0399996
0,0433329
60
36,39
22,07
13,39
8,120
4,925
2,987
1,812
1,099
0,6666
0,4043
0,2452
0,1487
0,0902
Зависимость напряжения на катушке индуктивности от
времени
70
значения напряжения в В
t
60
50
40
30
20
10
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
значения времени в сек.
28

29.

29

30. Методические указания с требованиями по оформлению и вариантами расчётно-графической работы приведены на сайте http://

vinokurovuniver.jimdo.
com
30

31.

Номер варианта
определяется
трёмя последними
цифрами
зачётной книжки
студента
31

32.

первая цифра
—
соответствует номеру строки
из таблицы 1
вторая цифра —
соответствует номеру строки
из таблицы 2
третья цифра —
соответствует номеру схемы
32

33.

Таблица 1
№ п.п.
R1, Ом
R2, Ом
R3, Ом
1
25
25
25
2
10
10
10
3
20
20
20
4
20
10
10
5
25
20
20
6
50
50
50
7
25
25
50
8
50
25
50
9
25
50
25
0
10
20
10
33

34.

Таблица 2
№ п.п.
C, мкФ
E, B
L, мГ
1
100
125
100
2
50
110
150
3
80
120
80
4
200
200
200
5
170
250
170
6
150
150
180
7
40
500
120
8
60
350
110
9
125
550
150
0
130
280
125
34

35.

№1
№2
C
E
L
R2
R1
C
E
R3
№3
L
R2
№4
R1
R3
L
R3
L
E
R2
C
C
E
R2
R3
R1
R1
№5
№6
L
E
L
R1
R2
C
C
E
R3
R2
R3
R1
35

36.

№8
№7
LL
E
L
C
R1
R2
E
R2
R3
R1
R3
№9
C
R3
R3
№0
C
L
E
L
E
R2
R2
R3
R1
C
R3
R1
36

37.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА
«ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА»
Расчётно-графическая работа №2
по теме:
«Расчёт переходных процессов в линейных
электрических цепях»
Вариант: 1 - 3 - 8
Выполнил студент группы ЭЛ2-1
Сидоров В.П.

38.

Функция
Проверил: доцент ВИНОКУРОВ М.Р.
ТАБЛИЦА ОТВЕТОВ
Вид решения
Значения
функции
при при при
t = 0─ t = 0 t = ∞
i1 (t) =
i2 (t) =
i3 (t) =
uL (t)=
uC (t) =
г. Ростов – на – Дону
20__ – 20 __ учебный год
38

39.

Содержание работы:
1. Рассчитать все переходные токи
цепи и переходные напряжения на
конденсаторе и на катушке
индуктивности классическим методом.
2. Составить систему дифференциальных
уравнений для метода переменных
состояния и рассчитать ток в катушке
индуктивности и напряжение на
конденсаторе при помощи
специализированной программы.
39

40.

3. Построить временные
зависимости в одной системе
координат по результатам,
полученными двумя методами
для:
тока в ветви с индуктивностью;
напряжения на конденсаторе.
4. Результаты расчетов занести в
таблицу ответов на титульном листе.
40

41.

В качестве примера рассмотрим
вариант задачи со следующими
исходными данными:
R1 = 20 Ом; R2 = 30 Ом;
R3 = 10 Ом;
L = 0,125 Гн; С = 0,00013 Ф;
Е = 100 В
41

42.

i3(t)
С
i1(t)
i2(t)
Е
R1
uL(t)
uC (t)
R2
R3
L
42

43.

1. Расчёт всех
переходных токов цепи
и переходных
напряжений на
конденсаторе и на
катушке индуктивности
классическим методом
43

44.

РЕШЕНИЕ
Составим систему дифференциальных
уравнений для мгновенных значений токов
и напряжений по законам Кирхгофа для
режима после коммутации:
i3(t)
i1(t)
Е
R1
i2(t)
С
R2
L
R3
Уравнение (2) принимаем за БАЗОВОЕ
44

45.

Cформируем неоднородное
дифференциальное уравнение
относительно переменной uC (t)
Для этого установим связь всех
переменных уравнения с
переменной uC (t)
45

46.

Выразим ток i2 из уравнения (3)
С учётом того, что
46

47.

47

48.

48

49.

Выразим напряжение на
катушке индуктивности:
49

50.

50

51.

Группируем полученное уравнение и
формируем неоднородное
дифференциальное
уравнение 2 порядка относительно
напряжения на конденсаторе:
С учётом числовых значений уравнение
принимает вид:
51

52.

или
Полное решение для
напряжения на конденсаторе:
52

53.

Расчёт принуждённой
составляющей
Так как источник ЭДС – постоянный
во времени, то
Исходное дифференциальное
уравнение в этом случае
принимает вид:
53

54.

54

55.

Расчёт свободной составляющей
Преобразуем исходное неоднородное
дифференциальное уравнение к однородному
Алгебраизируем однородное
дифференциальное
уравнение:
55

56.

Решение квадратного уравнения вида:
56

57.

57

58.

Комплексносопряжённые корни
указывают на
колебательный или
периодический
затухающий
переходный режим
58

59.

Вид решения для свободной составляющей
и полное решение для uc
Полученное решение для нулевого
момента времени ( t = 0) :
59

60.

В качестве такого уравнения может
быть использовано уравнение для
тока, протекающего в ветви с
конденсатором:
60

61.

Для нулевого момента времени ( t = 0) :
61

62.

Система уравнений, состоящая из
уравнений (4) и (5), позволяет
определить постоянные
интегрирования А и γ :
62

63.

Если корни дифференциального
уравнения отрицательные,
вещественные и разные, то такой
переходный процесс называется
апериодическим
НАПРИМЕР:
63

64.

Вид решения для свободной
составляющей и полное решение для uc
в данном случае имеют вид:
Для нулевого момента времени( t = 0):
64

65.

В качестве такого уравнения и в
данном случае может быть
использовано уравнение для тока,
протекающего в ветви с
конденсатором:
65

66.

Для нулевого момента времени ( t = 0) :
66

67.

67

68.

Для совместного решения
этих уравнений
[ как и уравнений (4) и (5)]
необходимо определить значения
величин в левой части уравнений
т.е.
68

69.

69

70.

70

71.

Выполним расчёт заданной схемы до
коммутации
( для момента времени t = 0_ )
i3(0_
i3(t))
(0_ )
ii11(t)
Е
R1
i1(0_ ) = 0;
i2(0_ ) = 0;
i3(0_ ) = 0;
uС(0_L) = 0;
uL(0_ ) = 0
(0_ )
i22(t)
R2
С
uC(0_ )
R3
71

72.

В данном случае искомые
независимые начальные условия
являются нулевыми, т.е.:
uC(0_ ) = 0; i1(0_ ) = 0
В соответствии с законами
коммутации:
uC (0) = 0; i1(0) = 0
72

73.

Исходная система уравнений для момента
времени t = 0 может быть преобразована с
учётом независимых начальных условий:
0
73

74.

Из уравнения (1)
Из уравнения (3)
74

75.

Из уравнения (1):
i2 (0) = – i3(0) = 0
Из уравнения (2):
75

76.

По результатам расчёта
приведённой схемы в момент
коммутации (t = 0 )
получаем следующие результаты:
i1(0) =
i2(0) =
i3(0) =
uС(0) =
uL (0) =
0;
0;
0;
0;
100 В
76

77.

Уравнения (4) и (5) могут быть теперь решены
совместно:
0 = 60 + A × sin γ
0 = – 0,0268 × A × sinγ
+ 0,02412 × A × cosγ
77

78.

0 = – 0,0268
×A×
sinγ
+ 0,02412 ×A×
cosγ
0 = 1,608 – 1,447ctg γ
γ = arctg ( 0,9 ) = 42º
78

79.

79

80.

80

81.

81

82.

82

83.

83

84.

84

85.

2. Вывод системы
дифференциальных уравнений
для метода переменных
состояния и расчёт тока в
катушке индуктивности и
напряжения на конденсаторе
при помощи
специализированной
программы.
85

86.

В основу программы положен метод Рунге – Кутта —
метод численного решения уравнения состояния,
при котором
разбивается на « n » малых участков
на каждом из которых значение
переменной определяется с помощью
линейной комбинации некоторых
вспомогательных функций с
постоянными коэффициентами.
86

87.

Достаточно получить
следующие функциональные
зависимости:
87

88.

88

89.

89

90.

РЕШЕНИЕ
90

91.

Выразим ток i2 из уравнения (1)
Подставим ток i2 в уравнение (3)
91

92.

92

93.

k – номер шага итерации
k = 0, 1, 2, ……. n
93

94.

После подстановки числовых
значений получим:
94

95.

95

96.

96

97.

97

98.

98

99.

После подстановки числовых
значений получим:
99

100.

С помощью специализированной программы
выполняется совместное решение
полученных итерационных уравнений:
При следующих начальных условиях:
100

101.

Порядок обращения к программе
ЗАДАЧА №2
ВАРИАНТ №
Метод переменных состояния
Х-Х-Х
0
0
A =
D=
800
В = -192,3
E=
-6
С = 5769,2
F=
-220
0
В
А
t п.п. = 2,425E-02
Δt =
6,062E-05
СЕК
СЕК
101

102.

3. Построение временных
зависимостей
напряжения на конденсаторе
и тока в ветви с
индуктивностью в одной
системе координат по
результатам, полученным
двумя методами
102

103.

Построение графических зависимостей по результатам расчёта
классическим методом (программа КПП)
S = 60
T = -89,70
K= 2
t п.п.
Δt
C= -206,2
L= 2,892
D = 185,5
N= -43,8
=
2,4248E-02 СЕК
Т' =
3,3854E-02 СЕК
=
2,425E-04
R= 42
140
СЕК
103

104.

При возникновении апериодического
переходного процесса (АПП) следует
обратиться к соответствующей программе и
ввести значения требуемых коэффициентов
Построение графических зависимостей по результатам расчёта
классическим методом (программа АПП)
L= 200
M=
500,00
N = -700
P 1= -200,0
S=
3
T=
5
R=
-8
P 2= -500,0
104

105.

Зависимость напряжения на конденсаторе (В) в функции времени (мсек)
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
-10,0
105

106.

Зависимость тока в ветви с индуктивностью (А) в функции времени (мсек)
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
-0,50
106

107.

Функция
4. Таблица
ответов
Вид решения
Значения
функции
при при при
t = 0─ t = 0 t = ∞
i1(t)=
0
0
2
i2(t)=
0
0
2
i3(t)=
uL (t)=
0
0
0
0
100
0
uC (t) =
0
0
60
107