Полезные лайфхаки по математике или необычные способы решения квадратных уравнений

1. Мастер-класс «Полезные лайфхаки по математике или необычные способы решения квадратных уравнений»

Муниципальный творческий конкурс
методических разработок «Творчество-залог успеха»
Мастер-класс
«Полезные лайфхаки по
математике
или необычные способы
решения квадратных уравнений»
Работу выполнила Титова В.Ю.
учитель математики МБОУ «ЛСОШ»

2. Анатация

• Работа научит использовать
нестандартные способы решения
полных квадратных уравнений и
определять условия, когда их
применение наиболее рационально.
• Данную работу можно использовать при
подготовке к экзаменам, олимпиадам
или на учебных курсах по математике
(8-11кл)

3. Актуальность темы

• Квадратные уравнения - это фундамент,
на котором строится предмет «Алгебра».
• Квадратные уравнения находят широкое
применение при решении
тригонометрических, показательных,
логарифмических, иррациональных и др.
уравнений и неравенств.
• Многие текстовые и практические задачи
решаются с их помощью.

4. Актуальность темы

• В школе изучаются формулы корней
квадратных уравнений, с помощью
которых можно решать любые
квадратные уравнения.
• Однако имеются и другие способы
решения квадратных уравнений,
которые позволяют очень быстро и
рационально решать квадратные
уравнения.

5. Цель:

• Способствовать овладению
обучающимися нестандартными
способами решения квадратных
уравнений.

6. Задачи:

• Образовательные: (формирование
познавательных УУД ): научить
использовать нестандартные способы
решения полных квадратных уравнений
и определять условия, когда их
применение наиболее рационально.

7. Задачи:

• Воспитательные: (формирование
коммуникативных и личностных УУД):
умение слушать, вступать в диалог,
участвовать в коллективном
обсуждении проблемы, строить
продуктивное взаимодействие между
сверстниками, воспитывать
ответственность и уважение.

8. Задачи:

• Развивающие: (формирование
регулятивных УУД ): умение
обрабатывать и использовать
информацию, выбирать способы
решения, контроль и оценка процесса и
результатов деятельности.

9. «Где есть желание, найдется путь» Д. Пой

10. Традиционный способ

• Каждый обучающийся 8-11 классов
должен знать алгоритм решений
квадратного уравнения, уметь его
применять, знать формулы корней
квадратного уравнения.
• Любое квадратное уравнение можно
решить традиционным способом.
• Но знание нескольких способов полезно
каждому обучающемуся.

11. Алгоритм решения квадратных уравнений по формуле

1. Привести к стандартному виду
2
ax bx c 0
2.
3.
4.
5.
Выписать коэффициенты a,b,c
Вычислить дискриминант D b 2 4ac
Определить количество корней
Вычислить корни уравнения
x1, 2
b D
2a

12.

Затруднения
Причины
Выяснить, задано ли
предложенное квадратное
уравнение в стандартном
виде.
- Невнимательно посмотрел
на все коэффициенты
Незнание стандартного вида
квадратного уравнения,
решаемого по формуле
- Неправильно привёл к
стандартному виду (перенес
слагаемые из одной части
уравнения в другую не
изменив знак).

13.

Затруднения
Причины
Неправильно записал
формулу дискриминанта
или не правильно
вычислил дискриминант.
- Незнание формулы
дискриминанта
- Вычислительная ошибка.

14.

Затруднения
Причины
Неправильно определил
количество корней
- Незнание того, как
зависит количество корней
от значения
дискриминанта.

15.

Затруднения
Причины
Неправильно вычислил
корни уравнения
-Незнание формулы корней
квадратного уравнения
- Неумение вычислять
корень квадратный из
дискриминанта
- Вычислительная ошибка

16. Альтернативные способы

или полезные лайфхаки , которые
быстро запоминаются и легко
применяются при решении квадратных
уравнений.
Предложенные способы в школьном
курсе математики не изучаются, но
возможны для применения на ОГЭ и
ЕГЭ, олимпиадах по математике для
быстрого получения решений.

17. Лайфхак №1

• Свойства коэффициентов.
Если в уравнении ax2+bx+c=0
выполняется условие a+ b +c =0, то
х1 =1, х2 = a/c
Например: 2x2+3x– 5=0
сумма коэффициентов 2+3+(-5)=0. значит
х1 =1 х2 = -5/2

18. Лайфхак №2

• Свойства коэффициентов
Если в уравнении ax2+bx+c=0
выполняется условие a+ c = b , то
х1 = - 1, х2 = - a/c
Например: 2x2+9x +7=0
выполняется равенство 2+7=9 ,значит
х1 =-1 х2 = -7/2

19. Лайфхак №3

• Переброс старшего коэффициента
Если в уравнении ax2+bx+c=0
не выполняются условия a+ b +c =0 и
a+ c = b , то решим новое уравнение
у2+bу+аc=0 , где у= ах
По теореме Виета находим корни у1 И у2 ,
затем делим найденные корни на
коээфициент а и получаем х1 = у1 /a ,
х 2 = у2 / a

20.

Например: 3x2+14x – 5=0
Проверяем условия: 3+14-5≠ 0 и 3-5 ≠ 14,
Значит решаем уравнение у2+14у – 15=0
по теореме Виета находим у1 =1 И у2 =-15,
тогда х1 = 1 /3 , х2 = -15/ 3 =-5

21. Лайфхак №4

• Если в уравнении ax2+bx+c=0
все коэффициенты положительны и
a+ b =c или a+ b >c , то уравнение
решений не имеет.
Например: 3x2 + 2x +5=0, т.к 3+2 =5, то
корней нет.
Проверим , используя формулу
D= 4-4* 3*5=-56, D<0 ,значит решений нет.

22. Решите уравнения разными способами

П
Р
А
Т
И
К
У
М
1) 4х2+ 2х -6с = 0
2) 55х2-44х -11= 0
3) 4271х2-4272х + 1 = 0
4) 3х2+10х + 7 = 0
5) 12х2+ 7х +1= 0
6) 5х2 -2х + 7 = 0
7) 3х2-7х + 4 = 0
8) 4х2+ 4х -3= 0

23. Решите уравнения удобным способом

П
Р
А
К
Т
И
К
М
1)10х2+ 2017х + 2007 = 0
2)10х2+ 7х + 3 = 0
3)354х2-52х -302 = 0
4)100х2-99х-1 = 0
5)5х2+ 9х + 4 = 0
6)2017х2+ х -2016 = 0
7)22х2+10х-12 = 0
8)5432х2-3087х-2345 = 0

24. Используя лайфхаки легко можно решить уравнения с большими коэффициентами.

3) 4271х2-4272х + 1 = 0
а=4271, b= - 4272, с = 1
Заметим, что a+ b +c =0
4271+(-4272)+1 =0,значит
х1 =1 х2 = 1/4271

25. Используя лайфхаки легко можно решить уравнения с большими коэффициентами.

6)2017х2+ х -2016 = 0
а=2017, b= 1, с =- 2016
а+b=2017-2016=1, х1 =-1 х2 = 2016/2017
8)5432х2-3087х-2345 = 0
а=5432, b= -3087, с =- 2345
a+b +c= 5432 + (-3087) + (-2345)=0,
х1 =1 х2 = -2345/5432

26. Правила решения квадратных уравнений:

• Сокращайте.
Если у коэффициентов квадратного
уравнения есть общий множитель, то на него нужно
сократить: 10x2+25x +10=0
2x2+5x +2=0
• Переставьте
слагаемые в порядке понижения
степени 5+ 12x + 3x2 =0
3x2 + 12x +5 =0
• Домножайте на минус один.
-x2 +6x -5=0
x2 -6x +5=0
• Используйте целочисленные коэффициенты
0,4 x2 + x -1,5=0
4 x2 +10 x -15=0

27. Правила решения квадратных уравнений:

• Применяйте эффективные способы
решения уравнений
• За 10-15 секунд не решили устносчитайте письменно (находите
дискриминант и корни по формулам)
• Используйте теорему Виета для
проверки корней

28. Заключение

Умение решать квадратные уравнения
разными способами позволяет:
• экономить время, применяя быстрый способ
решения;
• решать уравнения с большими
коэффициентами;
• выполнять автоматические расчёты;
• наглядно представлять решение уравнения;
• решить любое квадратное уравнение по
формуле.

29.

«Человеку, изучающему
алгебру, часто полезнее
решить одну и ту же
задачу тремя различными
способами, чем решить
три-четыре различные
задачи. Решая одну задачу
различными методами,
можно путём сравнений
выяснить, какой из них
короче и эффективнее. Так
вырабатывается опыт»
Уолтер Варвик Сойер

30. Литература:

• Глейзер Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.:
Просвещение, 1982- 340с.
• Квадратные уравнения–Режим
доступа: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html(
(Internet)).
• М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №21/96
• Мордкович, А. Г. Алгебра.8 класс. Учебник для
общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. :
Мнемозина 2015.-260с.
• Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика,
1985.
• onlyege.ru Математические лайфхаки
• chool-science.ru Нестандартные способы решения квадратных
уравнений