Метод математической индукции

1. Докажите, что 24 делится на 6

24:6
24=6*4
24=12+12

2. Задача

Доказать, что
(7 8
n
при n 2.
2 n 3
) 19

3. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Тема урока:
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
Переход от частных утверждений к общим
называют индукцией
(от латинского слова inductio – наведение).

4.

Знаменитый математик XVII в. П.Ферма
проверив, что числа
20
2 1 1 3
2
2 2 1 5
2
2
,
1 17
2
2
23
1 257
,
24
1 65537
простые, сделал по индукции
предположение, что для всех
n=0,1,2,3,… числа вида
2
простые.
2n
1

5.

В XVIII веке Л.Эйлер нашел, что при n=5
2
25
1 4294967297 641 6700417
составное число

6. История возникновения метода

К середине XVII века в математике накопилось
немало ошибочных выводов в силу того, что многие
математики верили в непогрешимость индукции.
Требовалось научное обоснование метода, который
позволял бы делать общие выводы на основании
рассмотрения нескольких частных случаев. И такой
метод был разработан. Основная заслуга в этом
принадлежит французcким математикам Паскалю и
Декарту, а также швейцарскому математику
Бернулли, хотя
отдельные случаи применения
встречаются и у Евклида.

7. Задача 1

Перед нами последовательность
нечетных чисел натурального ряда.
1,3,5,7,9,11,13…
Чему равна сумма n первых членов
этой последовательности?

8. 1,3,5,7,9,11,13…

S1=1
S2=1+3=4
S3=1+3+5=9
S4=1+3+5+7=16
S5=1+3+5+7+9=25
S1=12
S2=4=22
S3=9=32
S4=16=42
S5=25=52

9. Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)=n2

Sn
2
=1+3+5+7+…+(2n-1)=n
2
S1=1
S2=4=22
2
S3=9=3
S4=16=42
2
S5=25=5
Верно ли это
предположение при
любом целом
положительном n?

10. Верно ли это предположение при любом целом положительном n?

Предположим, что формула верна для
n=k, где k-натуральное число , то есть
1+3+5+7+…+(2k-1)=k2
Докажем ее справедливость и для числа,
непосредственно следующего за k, для
числа n=k+1.
Sk+1=1+3+5+7+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2
Sk=1+3+5+7+…+(2k-1) на k2.
Sk+1= Sk +(2k+1)= k2 +(2k+1)= (k+1)2

11. Принцип математической индукции

Утверждение P(n) справедливо для всякого
натурального n, если:
1. Оно справедливо для n=1 или для
наименьшего из натуральных чисел при котором
закономерность имеет смысл.
2. Из справедливости утверждения, для какого
либо произвольного натурально n=k, следует его
справедливость для n=k+1.

12. Алгоритм доказательства методом математической индукции

1. Проверяют справедливость гипотезы для
наименьшего из натуральных чисел при котором
гипотеза имеет смысл (базис индукции).
2. Сделав предположение, что гипотеза верна для
некоторого значения k, стремятся доказать
справедливость ее для k+1 (индукционный шаг).
3. Если такое доказательство удалось довести до конца,
то, на основе принципа математической индукции можно
утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для
любого натурального числа n.

13. Задача 2

Доказать, что
(7 8
n
при n 2.
2 n 3
) 19

14. Метод математической индукции применяется в разных типах задач

Доказательство делимости и кратности
Доказательство равенств и тождеств
Задачи с последовательностями
Доказательство неравенств
Нахождение суммы и произведения

15.

Доказать, что
3
3n 2
2
делится на 11 при n 0
4 n 1

16.

«Понимание и умение
правильно применять
принцип математической
индукции, является
хорошим критерием
логической зрелости,
которая совершенно
необходима математику»
А.Н. Колмогоров