Координаты вектора

1. Координаты вектора

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.
Определим понятие координат вектора. Для этого отложим вектор
так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда
координаты его конца называются координатами вектора.
Обозначим i , j векторы с координатами (1, 0), (0, 1)
соответственно. Их длины равны единице, а направления
совпадают с направлениями соответствующих осей координат.
Будем рисовать эти векторы, отложенными от начала координат и
называть их координатными векторами.

2. Теорема

Теорема. Вектор a имеет координаты (x, y) тогда и
только тогда, когда он представим в виде
Доказательство. Отложим вектор a от начала
координат, и его конец обозначим через А. Имеет место
равенство OA OAx OA y . Точка А имеет координаты (x,
y) тогда и только тогда, когда выполняются равенства
a xi yj .
и, значит, OAx xi , OA y yj

3. Пример 1

Даны три вершины параллелограмма O(0, 0), A(2, 1),
B(1, 3). Найдите координаты четвертой вершины C,
если известно, что они положительны.
Решение: Координаты вершины C равны координатам
вектора OC , который равен сумме векторов OA и OB .
Эти векторы имеют координаты (2, 1) и (1, 3)
соответственно. Следовательно, вектор OC имеет
координаты (3, 4), а значит, вершина C также имеет
координаты (3, 4).

4. Пример 2

Выразите длину вектора A1 A2 , если точки А1, А2 имеют
координаты (x1, y1), (x2, y2).
Решение: Длина вектора A1 A2 равна длине отрезка А1А2.
Используя формулу длины отрезка, получаем
| A1 A2 | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 .

5. Упражнение 1

Назовите координаты векторов:
а)
a 2i 6 j ;
б)
b i 3 j;
в)
c 3 j ;
г)
d 5i .
Ответ: а) (–2, 6); б) (1, 3); в) (0, -3); г) (-5, 0).

6. Упражнение 2

Найдите координаты вектора A1 A2 , если точки A1,
A2 имеют координаты (-3, 5), (2, 3)
соответственно.
Ответ: (5, -2).

7. Упражнение 3

Выразите длину вектора a через его координаты
(x, y).
Ответ: | a | x y .
2
2

8. Упражнение 4

Найдите координаты точки N, если вектор
MN имеет координаты (4, -3) и точка M – (1, -3).
Ответ: (5, -6).

9. Упражнение 5

Найдите координаты вектора AB, если: а) A (2, -6),
B (-5, 3); б) A (1, 3), B (6, -5); в) A (-3, 1), B (5, 1).
Ответ: а) (-7, 9); б) (5, -8); в) (8, 0).

10. Упражнение 6

Вектор AB имеет координаты (a, b). Найдите
координаты вектора BA.
Ответ: (-a, -b).

11. Упражнение 7

Даны три точки А(1, 1), В(-1, 0), С(0, 1). Найдите
такую точку D(x, y), чтобы векторы AB и CD были
равны.
Ответ: (-2, 0).

12. Упражнение 8

Найдите координаты векторов a b и a b , если
a (1, 0), b (0, 3).
Ответ: (1, 3) и (1, -3).

13. Упражнение 9

Даны векторы a (-1, 2) и b (2, -4). Найдите
координаты вектора:
а)
б)
в)
3a 2b ;
1
1
a b;
2
4
a 5b .
Ответ: а) (1, -2); б) (-1, 2); в) (11, -22).

14. Упражнение 10

Вершины треугольника имеют координаты A(1,
2), B(2, 1) и C(3, 4). Найдите координаты точки M
пересечения медиан.
1
Решение: AM ( AB AC ). AB(1, 1), AC (2,2).
3
1
Следовательно, AM имеет координаты (1, ).
3
1
Точка M имеет координаты (2, 2 ).
3