КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
ДЛИНА ВЕКТОРА
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 3
Упражнение 4
Упражнение 5
Упражнение 6
Упражнение 7
Упражнение 8
Упражнение 9
Упражнение 10
Упражнение 11
Упражнение 12
Упражнение 13
Упражнение 14
Упражнение 15
Упражнение 16
Упражнение 17
Упражнение 18
Упражнение 19
Упражнение 20
Упражнение 21
Упражнение 22
Упражнение 23
Упражнение 24
Упражнение 25
Упражнение 26
716.00K
Категория: МатематикаМатематика

Координаты вектора

1. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом
координат. Тогда координаты его конца называются координатами
вектора. Обозначим i , j , k векторы с координатами (1, 0, 0), (0,
1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а
направления совпадают с направлениями соответствующих осей
координат. Будем изображать эти векторы, отложенными от начала
координат и называть их координатными векторами.

2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Теорема. Вектор a имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда,
когда он представим в виде a xi yj zk .
Доказательство. Отложим вектор a от начала координат и его конец
обозначим через А. Имеет место равенство
OA OAx OAy OAz .
Точка А имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда, когда
выполняются равенства
OAx xi , OAy yj , OAz zk ,
и, значит, a xi yj zk .

3. ДЛИНА ВЕКТОРА

Если вектор a задан координатами начальной и конечной точек,
A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), то его длина выражается формулой
| A1 A2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 .

4. Упражнение 1

Найдите координаты векторов:
а) a 2i 6 j k ;
б) b i 3 j ;
в) c 3 j 2k ;
г) d 5i 5k .
Ответ: а) (-2, 6, 1); б) (1, 3, 0); в) (0, -3, 2); г) (-5, 0, 5).

5. Упражнение 2

Найдите координаты вектора AB , если: a) A(2, -6, 9), B(-5, 3, 7); б) A(1, 3, -8), B(6, -5, -10); в) A(-3, 1, -20), B(5, 1, -1).
Ответ: а) (-7, 9, -16); б) (5, -8, -2); в) (8, 0, 19).

6. Упражнение 3

Вектор AB имеет координаты (a,b,c). Найдите координаты
вектора BA .
Ответ: (-a, -b, -c).

7. Упражнение 4

В прямоугольном параллелепипеде OABCO1A1B1C1 вершина O –
начало координат, ребра OA, OC, OO1 лежат на осях координат
Ox, Oy и Oz соответственно и OA=2, OC=3, OO1=4. Найдите
координаты векторов:
а) OA1 ;
б) OB1 ;
в) OO1 ;
г) OC .
Ответ: а) (2, 0, 4);
б) (2, 3, 4);
в) (0, 0, 4);
г) (0, 3, 0).

8. Упражнение 5

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед
OABCO1A1B1C1, у которого вершина O совпадает с началом
координат. Найдите координаты вектора: а) OA; б) OC ; в) OB ;
г) OO1 ; д) BC1 ; е) B1C1 ; ж) AA1 ; з) OB1 ; и) O1B .
Ответ: а) (0, 8, 0);
б) (-5, 0, 0);
в) (-5, 8, 0);
г) (0, 0, 6);
д) (0, -8, 6);
е) (0, -8, 0);
ж) (0, 0, 6);
з) (-5, 8, 6);
и) (-5, 8, -6).

9. Упражнение 6

Найдите координаты векторов a b и a b , если
b (0,3,-4).
Ответ: (1, 3, -2); (1, -3, 6).
a (1, 0, 2),

10. Упражнение 7

Даны векторы a (-1,2,8) и
векторов:
а) 3a 2b ;
1
1
б) a b ;
2
4
в) a 5b .
Ответ: а) (1, -2, 30);
1
б) (-1, 2, 3 );
4
в) (11, -22, 7).
b (2,-4,3). Найдите координаты

11. Упражнение 8

Найдите координаты точки N, если вектор MN имеет
координаты (4, -3, 0) и точка M - (1, -3, -7).
Ответ: (5, -6, -7).

12. Упражнение 9

Какому условию должны удовлетворять координаты вектора,
чтобы он был: а) перпендикулярен координатной плоскости Oxy;
б) параллелен координатной прямой Ox?
Ответ: а) Первая и вторая координаты равны нулю;
б) вторая и третья координаты равны нулю.

13. Упражнение 10

Найдите координаты конца единичного вектора с началом в
точке A(1, 2, 3) и: а) перпендикулярного плоскости Oxy; б)
параллельного прямой Ox.
Ответ: а) (1,2,4), (1,2,2);
б) (2,2,3), (0,2,3).

14. Упражнение 11

Найдите длину вектора:
а) i 2 j 3k ;
б) 8i k ;
в) j 2k .
Ответ: а) 14; б) 65; в)
5.

15. Упражнение 12

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора:
а) AC ; б) BD1 .
Ответ. а) 2 ; б) 3 .

16. Упражнение 13

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
AB A1D1.
Решение. Данная сумма
векторов равна вектору AC .
Его длина равна 2 .
Ответ. 2 .

17. Упражнение 14

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
AB1 A1D.
Решение. Данная сумма
векторов равна вектору AC .
Его длина равна 2 .
Ответ. 2 .

18. Упражнение 15

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
AB1 A1D1.
Решение. Данная сумма
векторов равна вектору AC1.
Его длина равна 3 .
Ответ. 3 .

19. Упражнение 16

В единичном кубе A...D1 найдите длину вектора
AB1 BC1.
Решение. Данная сумма
векторов равна удвоенному
вектору AO1 , где O1 –
середина отрезка B1D1.
Его длина равна 7 .
Ответ. 7 .

20. Упражнение 17

В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора AB A1C1.
Решение. Длина данного вектора
равна длине вектора удвоенного
вектора AO, где O – середина
отрезка BC.
Его длина равна
Ответ. 3.
3.

21. Упражнение 18

В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора AB CC1.
Решение. Длина данного вектора
равна длине вектора вектора AB1 ,
т.е. равна 2.
Ответ. 2.

22. Упражнение 19

В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора BA CB1.
Решение. Длина данного вектора
равна длине вектора вектора CA1 ,
т.е. равна 2.
Ответ. 2.

23. Упражнение 20

В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра
которой равны 1, найдите длину вектора:
а) AB1 ;
б) AC1;
в) AD1;
г) AB A1E1;
д) AB A1F1.
Ответ. а) 2 ; б) 2 ;
в) 5 ; г) 5 ; д) 1.

24. Упражнение 21

В единичном кубе A...D1 найдите угол между векторами
AB и C1 D1.
Ответ. 180о.

25. Упражнение 22

В единичном кубе A...D1 найдите угол между векторами
AD1 и CB1.
Ответ. 90о.

26. Упражнение 23

В единичном кубе A...D1 найдите угол между векторами
AB1 и C1B.
Ответ. 120о.

27. Упражнение 24

В единичном кубе A...D1 найдите угол между векторами
AB1 и BD1.
Ответ. 90о.

28. Упражнение 25

В правильной треугольной призме ABСA1B1C1, все ребра
которой равны 1, найдите угол между векторами AB и
B1C1.
Ответ. 120о.

29. Упражнение 26

В правильной шестиугольной призме A … F1 найдите
угол между векторами:
а) AB и B1C1;
б) AB и C1D1;
в) AB и B1D1 ;
г) AB и B1E1;
д) AB и C1E1.
Ответ. а) 60о; б) 120о; в) 90о; г) 120о; д) 150о.
English     Русский Правила