Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы

1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы

Учебный курс «Алгебра и теория чисел»
Специальность 351500 «Математическое
обеспечение и администрирование
информационных систем»
Преподаватель Бакланова Н.Б.

2. Рассмотрим прямоугольную матрицу А (т x п)

Рассмотрим прямоугольную
матрицу А (т x п)
Пусть в матрице А выбраны произвольно k-строк и k-столбцов
Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов,
образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой
называется минором k-порядка матрицы А.

3. Определение. Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля

Определение. Рангом матрицы А
называется наибольший порядок
минора этой матрицы, отличного
от нуля
rang A = K, если
Mk+1= 0 , Mk+2= 0,....
,

4. Основные методы вычисления ранга матрицы.

I. Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице А найден минор М k-го
порядка, отличный от нуля. Рассмотрим
лишь те миноры (k + 1)-го порядка, которые
содержат в себе (окаймляют) минор М: если
все они равны нулю, то ранг матрицы равен
k. В противном случае среди окаймляющих
миноров найдётся ненулевой минор (k + 1)го порядка, и вся процедура повторится.

5. Пример 1. Найти ранг матрицы

Пример 1. Найти ранг
матрицы

6. Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля:   

Фиксируем минор 2-го порядка,
отличный от нуля:
Минор 3-го порядка
окаймляющий минор
отличен от нуля.
M2
также

7. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие , равны нулю:

Однако оба минора 4-го порядка,
окаймляющие M 3 , равны нулю:
Поэтому ранг А равен 3: rangA = 3.

8.

З а м е ч а н и е . Нахождение ранга
матриц методом окаймляющих миноров
требует вычисления определителей. Поэтому
этим методом удобней пользоваться для
вычисления ранга матриц небольшого
размера. Для вычисления ранга матрицы, у
которой число строк и столбцов больше трёх,
рациональней использовать метод
элементарных преобразований.

9. II. Метод элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями матрицы
называют следующие:
1. Перестановка строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на число,
отличное от нуля.
3. Прибавление к элементам строки
(столбца) соответствующих элементов
другой строки (столбца), предварительно
умноженных на некоторое число.
4. Вычёркивание строки (столбца), все
элементы которой равны нулю.

10.

З а м е ч а н и е . 1) Элементарные
преобразования не меняют ранга матрицы;
2) матрицы, полученные одна из другой
путём элементарных преобразований,
называются эквивалентными
(обозначаются A ~ В).

11.

Чтобы вычислить ранг матрицы А, путём
элементарных преобразований сводим её к
ступенчатому виду (в частности к
треугольному), выделяя наибольший минор,
отличный от нуля.
rangA = rangB= k

12. Пример 2. Найти ранг матрицы

Пример 2. Найти ранг
матрицы

13. Решение. 1) переставим строки матрицы:

Решение. 1) переставим
строки матрицы:

14. 2) первую строку умножим на 2 и сложим со второй: 

2) первую строку умножим на
2 и сложим со второй:

15. 3)  первую строку умножим на 3 и сложим с третьей, одновременно вторую строку   прибавим к четвёртой:

3) первую строку умножим на 3 и
сложим с третьей, одновременно
вторую строку прибавим к
четвёртой:

16. 4) умножим вторую строку на  ,  третью на  , пятую на  ,четвёртую вычеркнем :

4) умножим вторую строку
на
, третью на
, пятую
на
,четвёртую вычеркнем :

17. 5) прибавим вторую строку к третьей и четвёртой:

5) прибавим вторую строку к
третьей и четвёртой:
~
Ранг последней матрицы, а значит и
исходной, равен двум: rangA = 2.

18. Пример 3. Найти ранг матрицы

Пример 3. Найти ранг
матрицы
rang A=2

19.

Над матрицей А были проведены следующие
преобразования:
а) Первая строка матрицы А умножается на (- 2)
и прибавляется ко второй.
б ) Первая строка матрицы А умножается на (- 1)
и прибавляется к последней.
в) Вторая строка матрицы А умножается на (- 2) и
прибавляется к третьей.
г) Нулевая строка вычёркивается.
Оставшаяся матрица содержит миноры второго
порядка отличные от нуля. Строки такой матрицы
называются линейно независимыми, их число
равно рангу матрицы