Определители матриц. Обратная матрица, ранг матрицы

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА РАНГ МАТРИЦЫ

2. Определители.( детерминанты). (Детерминанты квадратных матриц 2-го и 3-го порядка)

Для квадратных матриц существует
специальная числовая характеристика,
называемая детерминантом (или
определителем).
Рассмотрим для начала определители
квадратных матриц 2-го и 3-го порядков.

3. Определение

Детерминантом (или определителем)
квадратной матрицы 2-го порядка
называется число .
11 12
det
11 22 12 21
21 22

4. Определение

Детерминантом (или определителем)
квадратной матрицы 3-го порядка
называется число:
11 12 13
det 21 22 23 11 22 33 13 21 32 12 23 31
31 32 33
13 22 31 12 21 33 11 23 32
.

5. Теорема

Определитель матрицы 3-го порядка
может быть выражен через
определители 2-го порядка формулой
следующего вида:
11 12 13
det 21 22 23
31 32 33
разложение
определителя по
первой строке.
22 23
21 23
21 22
11 det
12 det
13 det
32 33
31 33
31 32
,

6.

Иногда подсчет значения определителя
матрицы третьего порядка удобнее
выполнить по следующему правилу:
каждое слагаемое в определении есть произведение некоторой
тройки элементов матрицы, причем элементы, входящие в
произведения, берущиеся со знаком "плюс", соединены на рис.
сплошными линиями, элементы, входящие в произведения,
берущиеся со знаком "минус", - штриховыми линиями.

7. Определители высших порядков, вычисление и свойства.

Рассмотрим множество, состоящее из
натуральных чисел . Будем обозначать
перестановки этих чисел (то есть
последовательную их запись в некотором
порядке без повторений) как
{k1 , k 2 , k 3 ,..., k n }
( полное число таких различных
перестановок равно n!).

8.

Определение: Будем говорить, что числа ki
и kj образуют в перестановке беспорядок
(нарушение порядка, или инверсию), если
при i>j имеет место ki<kj.
Полное число беспорядков в перестановке
{k1 , k 2 , k 3 ,..., k n }
будем обозначать
Например,
Б ( k 1 , k 2 , k 3 ,..., k n )
Б (3,1,4,2) 3

9.

Пусть дана квадратная матрица
11 12
21 22
A 31 32
...
...
13 ... 1n
23 ... 2 n
33 ... 3n ij ; i , j [1, n ]
...
...
...
n1 n2 n 3 ... nn

10. Определение:

Детерминантом (или определителем)
квадратной матрицы A размера nxn
называется число det, получаемое
по
A
формуле
det A
( 1)
1k 2k ... nk
Б( k1 ,k2 ,k3 ,..., kn )
1
2
n
{k1 ,k2 ,k3 ,..., kn }
где - {k1 , k 2 , k 3 ,..., k n } всевозможные
различные перестановки, образованные из
A
номеров столбцов матрицы

11.

Определение. Дополнительным Мij
минором произвольного элемента
квадратной матрицы aij называется
определитель матрицы, полученной из
исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го
столбца.
Определение. Алгебраическим
дополнением элемента аij матрицы
называется число Аij=(-1)i+jМij

12. Замечание:

Поскольку в данном определении указано,
что сумма берется по всем возможным
различным перестановкам, то число
слагаемых равно n!.
Из определения также вытекает, что
каждое слагаемое содержит в качестве
сомножителя по одному элементу
матрицы из каждого столбца и каждой
строки.

13. Формула для вычисления определителей:

n
det A =
( 1)
k 1
k 1
a1k M 1k
где М1к–дополнительный минор элемента а1к.
(Заметим, что определители имеют только
квадратные матрицы.)

14.

Вообще говоря, определитель может
вычисляться по любой строке или столбцу
матрицы, т.е. справедлива формула:
n
detA =
( 1)
k 1
k i
aik M ik
i = 1,2,…,n.
Заметим, что:
различные матрицы могут иметь
одинаковые определители;
определитель единичной матрицы равен 1.

15. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ:

Свойство1. det A = det AT;
Свойство 2.
Свойство 3. Если в квадратной матрице
поменять местами какие-либо две строки (или
столбца), то определитель матрицы изменит
знак, не изменившись по абсолютной величине.
det (AB) = detA detB

16.

Свойство 4. При умножении
столбца (или строки) матрицы на
число ее определитель умножается
на это число.
Определение: Столбцы (строки)
матрицы называются линейно
зависимыми, если существует их
линейная комбинация, равная
нулю, имеющая нетривиальные (не
равные нулю) решения.

17.

Свойство 5. Если в матрице А строки
или столбцы линейно зависимы, то ее
определитель равен нулю.
Свойство 6. Если матрица содержит
нулевой столбец или нулевую строку, то
ее определитель равен нулю. (Данное
утверждение очевидно, т.к. считать
определитель можно именно по
нулевой строке или столбцу.)

18.

Свойство 7. Определитель матрицы не
изменится, если к элементам одной из
его строк(столбца) прибавить(вычесть)
элементы другой строки(столбца),
умноженные на какое-либо число, не
равное нулю.

19.

Свойство 8. Если для элементов какойлибо строки или столбца матрицы верно
соотношение:
d = d1 d2 , e = e1 e2 , f = f1 f2 , то верно:
a b
c
a
b
c
a
b
c
d
e
f d1
e1
f1 d 2
e2
f2
k
l
m
l
m
l
m
k
k

20. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА (Нахождение и применение)

21. Обратная матрица

Определение. Если существуют
квадратные матрицы Х и А одного
порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого
порядка, что и матрица А, то матрица Х
называется обратной к матрице А и
обозначается А-1.
Каждая квадратная матрица с
определителем, не равным нулю имеет
обратную матрицу и притом только одну

22.

Матрица
A
, для которой det A 0 ,
называется вырожденной, а матрица, для
которой
det A 0 - невырожденной.

23. Нахождение обратной матрицы

1) Рассмотрим общий подход к
нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения
матриц, можно записать:
AX = E , i=(1,n), j=(1,n),
eij = 0,
i j,
eij = 1,
i=j.

24.

Таким образом, получаем систему
уравнений:
a11 x1 j a12 x 2 j ... a1n x nj 0
................................................
a j1 x1 j a j 2 x 2 j ... a jn x nj 1
................................................
a n1 x1 j a n2 x 2 j ... a nn x nj 0
Решив эту систему, находим элементы
матрицы Х.

25.

2) При нахождении обратных матриц обычно
применяют следующую формулу:
xij
1
i j
M ji
det A
где xij – соответствующий элемент обратной матрицы
M ij - дополнительный минор произвольного элемента
квадратной матрицы aij , он равен определителю
матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой
строки и j-го столбца.

26.

3) К матрице Aij «дописывают» справа
единичную матрицу. С помощью
элементарных преобразований приводят
матрицу Aij к единичному виду, тогда матица,
которая получится справа – обратная
a11
an1
a12
an 2
0 ... 0
...
...
...
...
...
...
... ann 0 0 ... 1
a1n 1

27. Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными
преобразованиями матрицы назовем
следующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам одной строки
элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из
одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование.

28.

Те же операции, применяемые для
столбцов, также называются
элементарными преобразованиями.
С помощью элементарных
преобразований можно к какой-либо
строке или столбцу прибавить линейную
комбинацию остальных строк ( столбцов ).

29. Cвойства обратных матриц

(A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 = (А-1)T.

30. ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

обратная матрица позволяет найти
решения следующих матричных
уравнений:
АХ=С
ХВ=С
АХВ=С
Решение:
Х=А-1С
Х=СВ-1
Х=А-1СВ-1

31. Ранг матрицы.

Определение. Минором матрицы
порядка s называется определитель
матрицы, образованной из элементов
исходной матрицы, находящихся на
пересечении каких - либо выбранных s
строк и s столбцов

32.

Определение. В матрице порядка m n
минор порядка r называется базисным,
если он не равен нулю, а все миноры
порядка r+1 и выше равны нулю, или не
существуют вовсе, т.е. r совпадает с
меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых
стоит базисный минор, также называются
базисными.
В матрице может быть несколько
различных базисных миноров, имеющих
одинаковый порядок.

33.

Определение. Порядок базисного минора
матрицы называется рангом матрицы и
обозначается Rg А.
Элементарные преобразования матриц не
изменяют ранг матрицы
Определение. Матрицы, полученные в
результате элементарного преобразования,
называются эквивалентными.
(Равные матрицы и эвивалентные
матрицы - понятия совершенно различные)

34. Теорема о базисном миноре

Теорема. В произвольной матрице А
каждый столбец (строка) является
линейной комбинацией столбцов (строк),
в которых расположен базисный минор.
Таким образом, ранг произвольной
матрицы А равен максимальному числу
линейно независимых строк (столбцов) в
матрице.

35. Пример.

1 0 0 0 5
2 0 0 0 11
Определить
ранг матрицы
1 5
2 11
RgA = 2.
1
5
2 11
11 10 1 0

36.

Если с помощью элементарных
преобразований не удается найти матрицу,
эквивалентную исходной, но меньшего
размера, то нахождение ранга матрицы
следует начинать с вычисления миноров
наивысшего возможного порядка. В
вышеприведенном примере – это миноры
порядка 2. Если хотя бы один из них не
равен нулю, то ранг матрицы равен
порядку этого минора.