Теорема Вариньона и ее применение

1.

Теорема Вариньона и ее
применение

2.

Пьер Вариньон (1654–1722)
Пьер Вариньон родился во Франции в 1654
году. Обучался в иезуитском коллеже и
университете в Кане, где стал магистром в 1682
году.
Вариньон
готовился
к
религиозной
деятельности, но, изучая сочинения Эвклида
и Декарта, увлекся математикой и механикой.
Труды Вариньона посвящены теоретической
механике, анализу бесконечно малых величин,
геометрии, гидромеханике и физике.
В 1687 Вариньон представил в Парижскую
Академию наук сочинение «Проект новой
механики...», в котором сформулировал закон
параллелограмма сил.
В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона
«Новая
механика
или
статика»,
представляющий
собой
систематическое
изложение учения о сложении и разложении
сил, о моментах сил и правилах оперирования
ими, почти без изменений сохранившееся в
учебниках статики до нашего времени. Написал
учебник по элементарной геометрии.

3.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки,
соединяющие середины противоположных
сторон

4.

Теорема Вариньона
Четырехугольник, образованный путем
последовательного соединения середин сторон
выпуклого четырехугольника, является
параллелограммом, и его площадь равна
половине площади данного четырехугольника.
Такой параллелограмм называется
параллелограммом Вариньона данного
четырехугольника

5.

Следствие 1
Параллелограмм Вариньона является
прямоугольником тогда и только тогда, когда
в исходном четырехугольнике
а) диагонали перпендикулярны;
б) бимедианы равны.

6.

Следствие 2
Параллелограмм Вариньона является
ромбом тогда и только тогда, когда в
исходном четырехугольнике
1) диагонали равны;
2) бимедианы перпендикулярны.

7.

Следствие 3
Параллелограмм Вариньона является
квадратом тогда и только тогда, когда в
исходном четырехугольнике
а) диагонали равны и перпендикулярны;
б) бимедианы равны и перпендикулярны.

8.

Следствие 4
Бимедианы четырехугольника и отрезок,
соединяющий середины диагоналей,
пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой пополам.

9.

Теорема Эйлера
Для четырехугольника сумма квадратов всех
сторон равна сумме квадратов диагоналей
плюс учетверённый квадрат отрезка,
соединяющего середины диагоналей, то
есть

10.

Теорема о бабочках
Суммы площадей накрест лежащих
четырехугольников, образованных
пересечением бимедиан LN и KM выпуклого
четырехугольника ABCD равны.

11.

Теорема
Медианы в треугольнике пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении 2:1,
считая от вершины.

12.

Задача 1
У четырехугольника диагонали
равны a и b. Найдите периметр
четырехугольника, вершинами которого
являются середины сторон данного
четырехугольника.

13.

Задача 2
Докажите, что если диагонали
четырехугольника равны, то его площадь
равна произведению бимедиан.

14.

Задача 3
В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины
сторон AB и CD, BC и DE соединены
отрезками. K, L – середины этих отрезков.
Доказать, что отрезок KL параллелен пятой
стороне AE и составляет ¼ от неё.

15.

Задача 4
Докажите, что сумма квадратов диагоналей
четырёхугольника в два раза больше суммы
квадратов его бимедиан

16.

Задача 5
Диагонали четырёхугольника ABCD равны
d1 и d2, а бимедианы равны между собой.
Найдите площадь четырёхугольника

17.

Задача 6
Докажите, что все четырёхугольники,
имеющие общие середины сторон,
равновелики