Теорема Вариньона

1. Теорема Вариньона

ТЕОРЕМА
ВАРИНЬОНА
Проект выполнил
ученик 8 класса
ЯСОШ Якушенко
Саша, под
руководством
Якушенко Татьяны
Андреевны

2. Цель

◦Узнать дополнительный
теоретический материал,
который может упростить
решение задач и расширить мой
кругозор.

3. Задачи

◦1) Найти тему для проекта
◦2)Изучить и доказать теорему
Вариньона и некоторые следствия
◦3)Решить задачи и доказать
некотоырые утверждения из
школьной программы с помощью
данной теоремы
◦4)Оформить проект

4. Актуальность

◦ В 8 классе я участвовал во многих
олимпиадах по математике, задания в
которых затрагивали много тем из
углубленных программ обучения.
Поэтому я захотел узнать что-то новое,
что позволит решать задачи более
рациональным способом и сократит
время решения задач.

5. Пьер Вариньон

6. Формулировка

◦ Четырёхугольник, вершины которого
совпадают с серединами сторон
произвольного четырёхугольника,
является параллелограммом, стороны
которого параллельны диагоналям
исходного четырёхугольника.

7. Параллелограмм Вариньона

8.

9. Доказательство

10. Доказательство следствий

◦ Следствие о площади параллелограмма Вариньона
Треугольник ADC
подобен тр. LKD, SADC =
0,5 DH x AC
SLXYK = 0,25 DH x AC

11. Применение теоремы

Доказательство основного свойства медиан треугольника
С1А1 – это средняя линия.
Значит треугольники С1А1М и
АСМ подобны по 1 признаку
параллельности

12. Простое доказательство

проведём две медианы AM и CD
треугольника ABC. Пусть О – точка
их пересечения. Середины сторон
невыпуклого четырехугольника
АBCО – точки K, L, M и D –
вершины параллелограмма, причем
точкой пересечения его диагоналей
KM и LD для этой конфигурации
будет точка пересечения медиан О.
Итак, AK = MO = OK и CL = DO = OL,
т.е. точка О делит каждую из медиан
AM и CD в отношении 2:1.

13. Решение задач

1) Докажите, что если диагонали
четырёхугольника равны, то его
площадь равна произведению
средних линий.

14.

◦ Доказательство: в случае
равенства диагоналей
AC и BD
параллелограмм
Вариньона KLMN является
ромбом, а площадь
ромба равна половине
произведения
диагоналей

15.

◦2)Докажите, что
◦а) середины сторон
прямоугольника являются
вершинами ромба. И
наоборот;
◦ б) середины сторон ромба
являются вершинами
прямоугольника.

16.

17.

18.

◦3) У четырехугольника диагонали
равны a и b. Найдите периметр
четырехугольника, вершинами
которого являются середины сторон
данного четырехугольника.

19.

20. Дальнейшие перспективы развития проекта

Я понял, что геометрия гораздо шире и чтобы
участвовать в олимпиадах ее нужно знать в
большем объеме . В будущем я планирую
дополнить этот проект большим количеством
дополнительного материала (следствия,
задачи)

21. Ожидаемые результаты

Мне будет проще решать задачи и школьные,
и олимпиадные. Буду дальше наращивать
объем внешкольных знаний по математике,
другим предметам

22. Вывод

Я узнал новую теорему, научился решать
задачи с ее помощью, знаю, как доказать
свойство медиан треугольников и некоторые
следствия из теоремы, проделал большую
работу. Теперь я могу решать задачи не
только из школьной программы.

23. Литература

◦ https://ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер
◦ https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Вариньона_(геометрия)
◦ https://lycu1580.mskobr.ru/attach_files/upload_users_files/5e87128274
cce.pdf https://5terka.com/images/geom8/8class-395.jpg