Теорема Пифагора

1. Геометрия 8 класс

Урок-презентация

2.

3. Цель урока:

Создать условия для расширения
познаний учащихся о жизни великого
математика Пифагора, о знаменитой
теореме и ее различных способах
доказательства через организацию
работы со слайдами, с последующим
использованием знаний в
проверочном тесте.

4. Сегодня на уроке вы познакомитесь:

С краткой биографией
древнегреческого ученого
С теоремой Пифагора
С другими версиями доказательства
этой теоремы
С решением задач по данной теме

5.

Пифагор
– древнегреческий математик,
мыслитель и политический деятель.
Пифагор – это не только самый
популярный ученый, но и самая
загадочная личность.
Человек – символ, философ, пророк.

6. Пифагор( ок. 570- ок.500 гг. до н. э.)

Письменных документов о Пифагоре Самосском не
осталось, по более поздним свидетельствам трудно
восстановить подлинную картину его жизни и
достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной
остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в
знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом
возрасте(по преданию в 40 лет) появился в греческом
городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его
последователи- пифагорейцы- образовали тайный союз.
На учение Пифагора большое влияние оказала
философия и религия Востока. Там Пифагор
познакомился с восточной математикой. Математика
стала частью его учения. Мир для них жил особой
жизнью. Пифагор впервые разделил числа на четные и
нечетные, простые и составные.

7. Задание

Построить квадраты на
катетах.
Построить квадрат на
гипотенузе.
Разбить квадраты.

8. «Пифагоровы штаны»

9.

Теорема Пифагора: Квадрат, построенный на
гипотенузе прямоугольного треугольника,
равновелик сумме квадратов, построенных на
его катетах. ( старое звучание)
Теорема Пифагора: В прямоугольном
треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов. (современная
формулировка)

10. Стихотворение, которое помогает запомнить формулировку теоремы

Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём!
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находимИ таким простым путём
К результатам мы придём.
(И. Дырченко)
)

11.

a
a
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
c
b
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
a
c
c
b
В прямоугольном треугольнике квадрат
b
c
c
a
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник с
a
b
катетами a,b и гипотенузой с (см.рис.1). Докажем, что c² =a² + b².
2) Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рис. 2
Площадь S
этого
квадрата...
)²
S=(
(1)
3) С другой стороны, это квадрат составлен: из четырех равных прямоугольных
треугольников, площадь каждого из треугольников равна: ½ а*
S
иПлощадь
квадрата
со стороной С, площадь которого равна
квадрата равна
S=
* ½ a*
4) Таким образом из (1) и (2) следует, что
+
² = 2ab +
(
) ²=
² , т.е.
²
(2)
+c ²
раскрываем скобки получаем a² + 2ab + b² = 2ab + c² , откуда c² =a² + b² .
b

12. Теорема Пифагора

Китайцы с ранних времен знали теорему
Пифагора, а в последствии представили
собственное ее доказательство. Согласно
легенде, Чжоу-гун, младший сын Вэнь-вана,
имел беседу с математиком Шан Гао, в которой
упоминаются закономерности, вытекающие из
теоремы Пифагора: если надломить линейку-чи
под прямым углом на расстоянии 4 и 3 от
концов, то кратчайшее расстояние между ними
будет равно 5. Это частная формулировка
теоремы Пифагора.

13. Доказательство (зрительное)

Простейшее доказательство теоремы получается
в случае равнобедренного прямоугольного
треугольника. Вероятно, с него и начиналась
теорема. В самом деле, достаточно просто
посмотреть на мозаику равнобедренных
прямоугольных треугольников, чтобы убедиться
в справедливости теоремы. Например, для
треугольника ABC квадрат, построенный на
гипотенузе АС, содержит 4 исходных
треугольника, а квадраты, построенные на
катетах, - по два.
Теорема доказана.

14. Доказательство (зрительное)

15. Индийское доказательство

Доказательство, изобретенное индийскими
математиками, изображено ниже на чертеже.
Здесь один и тот же большой квадрат
разрезан на части двумя различными
способами. Треугольники справа и слева –
одни и те же. Поэтому незаштрихованный
квадрат слева равновелик двум
незаштрихованным квадратам справа. Но
квадрат слева построен на гипотенузе
треугольника, а квадраты справа – на его
катетах.

16. Индийское доказательство

17. Доказательство Сабита ибн Корры

Это доказательство теоремы Пифагора,
изобретено арабским математиком Сабитом
ибн Коррой. Оно, как вы можете видеть, чемто похоже на предыдущее. Сначала мы
чертим рядом два квадрата, построенные на
катетах, а затем , отрезая и переставляя
части получившейся фигуры, складываем из
них квадрат гипотенузы.

18. Доказательство Сабита ибн Корры

19. Доказательство Евклида

Доказательство Евклида в сравнении с
древнекитайским или древнеиндийским
выглядит чрезмерно сложным. По этой причине
его нередко называли "ходульным" и
"надуманным". Но такое мнение поверхностно.
Теорема Пифагора у Евклида является
заключительным звеном в цепи предложений I
книги "Начал". Для того чтобы логически
безупречно построить эту цепь, чтобы каждый
шаг доказательства был основан на ранее
доказанных предложениях, Евклиду нужен был
именно выбранный им путь.

20. Доказательство Евклида

21. Доказательство Аннариция

Багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий
(латинизированное имя - Аннариций) в арабском
комментарии к "Началам" Евклида дал следующее
доказательство теоремы Пифагора (рис.). Квадрат на
гипотенузе разбит у Аннариция на 5 частей, из которых
составляются квадраты на катетах. Конечно, равенство
всех соответствующих частей требует доказательства,
но мы его за очевидностью оставляем читателю.
Любопытно, что доказательство Аннариция является
простейшим среди огромного числа доказательств
теоремы Пифагора методом разбиения: в нем
фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это
наименьшее число возможных разбиений.
Метод равносоставленных фигур был очень
популярен в древности. Вероятно, тогда же была
изобретена головоломка, называемая сегодня
"Пифагор".

22. Доказательство Аннариция

23. Египетская задача о лотосе Египетская задача о лотосе :

Египетская задача о лотосе :
На глубине 12
футов растет лотос
с 13-футовым
стеблем.
Определите ,на
какое расстояние
цветок может
отклониться от
вертикали,
проходящей через
точку крепления
стебля ко дну.

24. Старинная задача индийского математика XII в. Бхаскары

На берегу рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки,
Осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?

25. Почтовая марка

В Греции была выпущена
почтовая марка по случаю
переименования острова
Самос в остров Пифагорейон .
На марке надпись :
«Теорема Пифагора. Эллас.
350 драхм». Эта красивая
марка – почти единственная
среди многих тысяч
существующих , на которой
изображен математический
факт.

26. Значение теоремы

Теорема Пифагора – важнейшее утверждение
геометрии. Даже те, кто в своей жизни навсегда
«распрощался» с математикой, сохраняют
воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина
такой популярности теоремы Пифагора
объясняется ее простотой, красотой,
значимостью. Изучение вавилонских,
древнекитайских рукописей показало, что это
утверждение было известно задолго до Пифагора.
Веревочным треугольником со сторонами 3,4 и 5
единиц пользовались еще в Древнем Египте для
построения прямых углов на местности

27. Человек- символ, философ, пророк.

Пифагор-
это древнегреческий
математик, мыслитель и политический
деятель.
Пифагор- это не только самый
популярный ученый, но и самая
загадочная личность.

28. Домашнее задание

Пункт
54, вопрос 8;
№ 483 (б, г);
№ 484 (в, д)