Решение простейших тригонометрических неравенств

1.

Решение
простейших
тригонометрических
неравенств

2.

Всесложные
простейшие
тригонометрическиенеравенства
неравенства решаются
Все
тригонометрические
решаются
и тем жечто
способом:
с помощью тех жеодним
алгоритмов,
и тригонометрические
уравнения, но в самом конце приходится решать
простейшие тригонометрические неравенства.
1. Выделяем на единичной окружности дугу, координаты точек
которой удовлетворяют нашему неравенству.
2. Определяем начальную точку движения по этой дуге, исходя
из того, что мы «умеем» двигаться только в положительном
направлении, то есть против часовой стрелки (от меньшего
числа к большему)
3. Двигаясь по выделенной дуге в положительном
направлении, определяем конечную точку движения.
4. После того, как мы определили начальную и конечную точку
движения по дуге, записываем решение неравенства и ответ.

3.

Числа
на
единичной
окружности,
которые
могут
участвовать
в записи
решения
неравенства
̶ 4π
—
3 2π
—
̶—
5π 3π 3
4 —
̶ 7π 5π 4
— —
6 6
π
—
2
2
̶—
5π 7π
6 —
6 5π
̶—
3π —
4
4π
4
—
̶ 2π 3
—
3
̶ 5π
—
3
π
̶—
7π
—
3 π 4
—
̶ 11π
4 π —
— 6
6
2
1
3
2 2
2
1
2
π
2
1
3
̶ π -1
2
̶ 3π
y—
+
0
1
2
2
1
2
-1
2
2
3
2
̶ π 3π
— —
2 2
2
2
31
2
0
̶ 2π
2π
x
̶
11π —
̶ π
—
6
6
7π
̶ π
— —
4 4
5π
— ̶ π
3 —
3

4.

Алгоритм решения неравенства sin x < a или sin x > a
Изобразить единичную окружность, отметить число у = a (sinα =
y
y)
Провести прямую у = a
Выделить дугу окружности,
соответствующую знаку сравнения
(обход - строго против часовой
стрелки).
Записать числовые значения
граничных точек дуги.
Учитывая, что начало дуги –
меньшее значение.
Записать решение неравенства
х 1 + 2πn < x < х 2 + 2πn, n ϵ Z
Записать ответ
sin x < a
х1
a
х2
х
0
y
sin x > a
х2
a
0
х1
х

5.

1.
На оси Оу отмечаем значение
и проводим прямую у =
3.
Выделяем
нижнюю часть
окружности
(обход - строго
против часовой
стрелки)
5
4
Подписываем
полученные точки.
Обязательно
учитываем, что
начало дуги –
меньшее значение
4. Записываем решение:
y
2
2
sin x
2
2
2
sin x ≤ 0,7
2.
2
2
2
0 ,7
2
О
4
2
x
5
2 k x
2 k , k Z
4
4

6. sin x > 0,5

sin x > 0,5
y
1
5π ̸ 6
π̸6
0,5
0
-1
x

7.

3
1. На Оу отмечаем значение
0,8
3 2
и проводим прямую у = 2
3.
Выделяем верхнюю
часть окружности
(обход - строго
против часовой
стрелки)
2
Подписываем
полученные точки.
Обязательно
учитываем, что
начало дуги –
меньшее значение.
4. Записываем решение:
y
sin x ≥ - 0,8
2.
3
sin x
2
4
3
3
2
О
x
3
2
3
2 k x
4
2 k , k Z
3

8.

sin x > - 1,3
y
x R
1
0
-1
○ - 1,3
x

9. sinx ≤ 0,4

y
1
0,
4
π
sin x ≤ 0,4
x1
0
x1 = π ̶ arcsin 0,4
x2 = 2 π + arcsin 0,4
x2
t 0 = arcsin 0,4
2π
x
x1 + 2πk ≤ x ≤ x2 + 2πk, kϵZ
-1
x ϵ [ π ̶ arcsin 0,4 + 2πk;
2 π + arcsin 0,4 +2πk], kϵZ

10.

Алгоритм решения неравенства cos x > a или cos x < a
Изобразить единичную окружность, отметить число x = a (cosα =
x)
Провести прямую x = a
Выделить дугу окружности,
соответствующую знаку сравнения
(обход - строго против часовой
стрелки)
Записать числовые значения
граничных точек дуги.
Учитывая, что начало дуги –
меньшее значение
х2
a
Записать ответ
х
0
х1
y
х1
Записать решение
неравенства
х 1 + 2πn < x < х 2 + 2πn, n ϵ Z
y cos x > a
cos x < a
a
0
х2
х

11.

1.
2
0,7
2 2
На Ох отмечаем значение
и проводим прямую х =
2
2. Выделяем правую
часть окружности
2
(обход - строго
3
против часовой
стрелки)
4
y
cos x ≥ - 0,7
2 О
2
2
cos x
2
2
x
Подписываем
полученные точки.
Обязательно
3
учитываем, что
4
начало дуги –
меньшее значение.
3
3
2 k x
2 k , k Z
4. Записываем решение:
3.
4
4

12.

На Оx отмечаем значение 1
1 2
и проводим прямую х =
2
2. Выделяем левую
часть окружности
(обход - строго
против часовой
стрелки)
1.
y
2
3
1
2
cos x ≤ 0,5
Подписываем
полученные точки.
Обязательно
учитываем, что
начало дуги –
меньшее значение.
4. Записываем решение:
1
cos x
2
О
2
x
3.
5
3
5
2 k x
2 k , k Z
3
3

13.

x R
cos х < 1,1
y
cos х < 1,1
-1
0
1,1
1
x

14.

cos x ≥ 0
y
2
2 k x
2
2
2 ,
x
-1
1
0
2

15.

Алгоритм решения неравенства tg x ≤ a
Изобразить единичную окружность и провести линию тангенсов
Показать точки, в которых не определён тангенс
y
На линии тангенсов отметить
число a и провести луч через
эту точку и центр окружности
2
а
х2
Выделить нижнюю часть
линии тангенсов, поскольку
решаем неравенство со знаком ≤
Выделить соответствующие дуги
окружности (обход совершаем
против часовой стрелки)
Подписать полученные точки на
одной из дуг (вторая получается из
неё: к концам +π). Учесть , что
начало дуги – меньшее значение
-1
0
х
1
2
Записать решение неравенства х 1 + πn < x ≤ х 2 + πn, n ϵ Z
Записать ответ.
1
x

16.

tg x ≤ 1
x (
2
k ;
4
y
2
4
1
k ], k Z
-1
0
5
4
2
1
x

17.

1.
На линии тангенсов отмечаем
tgx 3
3 1 ,7
tg x ≤ 1,7
y
проводим луч через эту точку и
3 1,7
центр окружности
2. Выделяем нижнюю часть
2
линии тангенсов,
поскольку решаем
3
неравенство со знаком ≤ .
3. Выделяем
соответствующую
часть окружности
(обход совершаем
2
О
против часовой
стрелки)
4. Подписываем полученные
точки. Обязательно
учитываем, что
2
начало дуги – меньшее
значение
5. Записываем решение:
k x
k , k Z
2
3
x

18.

На линии тангенсов отмечаем значение 1
проводим луч через эту точку и
y
центр окружности
2. Выделяем верхнюю часть
линии тангенсов, поскольку
2
решаем неравенство со
4
знаком ≥ .
3. Выделяем
соответствующую
часть окружности
(обход - строго
О
против часовой
стрелки)
4. Подписываем полученные
точки. Обязательно
учитываем, что начало
дуги – меньшее значение
2
5. Записываем решение:
tgx 1
tg x≥ 1
1.
4
k x
2
1
2
k , k Z
x