Решение простейших тригонометрических неравенств

1.

Решение
простейших
тригонометрических
неравенств

2.

Все простейшие тригонометрические неравенства решаются
одним и тем же способом:
Все сложные тригонометрические неравенства решаются
с помощью тех же алгоритмов, что и тригонометрические
уравнения, но в самом конце приходится решать
простейшие тригонометрические неравенства.
1. Выделяем на единичной окружности дугу, координаты точек
которой удовлетворяют нашему неравенству.
2. Определяем начальную точку движения по этой дуге, исходя
из того, что мы «умеем» двигаться только в положительном
направлении, то есть против часовой стрелки (от меньшего
числа к большему)
3. Двигаясь по выделенной дуге в положительном направлении,
определяем конечную точку движения.
4. После того, как мы определили начальную и конечную точку
движения по дуге, записываем решение неравенства и ответ.

3.

̶ 4π
—
3 2π
—
̶—
5π 3π 3
4 —
̶ 7π 5π 4
— —
6 6
Числа
на
единичной
окружности,
которые
π
могут
2
1
3
̶ π -1
2
2
2
участвовать
в записи
̶—
5π 7π
решения
6 —
6 5π
неравенства
̶—
3π —
4
4π
4
—
̶ 2π 3
—
3
π
̶ 3π
— y—
2
2
1
̶ 5π
—
3
π
̶—
7π
—
3 π 4
—
̶ 11π
4 π —
— 6
6
3
2 2
2
1
2
+
0
1
2
1
2
-1
2
2
3
2
̶ π 3π
— —
2 2
2
2
31
2
0
̶ 2π
2π
x
̶
11π —
̶ π
—
6
6
7π
̶ π
— —
4 4
5π
— ̶ π
3 —
3

4.

Алгоритм решения неравенства sin x < a или sin x > a
Изобразить единичную окружность, отметить число у = a (sinα = y)
y
Провести прямую у = a
Выделить дугу окружности,
соответствующую знаку сравнения
(обход - строго против часовой
стрелки).
Записать числовые значения
граничных точек дуги.
Учитывая, что начало дуги –
меньшее значение.
х1
a
х2
х
0
y
sin x > a
х2
Записать решение неравенства
х 1 + 2πn < x < х 2 + 2πn, n ϵ Z
sin x < a
a
0
Записать ответ
х1
х

5.

На оси Оу отмечаем значение
1.
2
2
и проводим прямую у =
2
0 ,7
2
3.
Выделяем
нижнюю часть
окружности
(обход - строго
против часовой
стрелки).
Подписываем
полученные точки.
Обязательно
учитываем, что
начало дуги –
меньшее значение
5
4
2
2
2
sin x ≤ 0,7
2.
y
2
sin x
2
О
4
2
x
4. Записываем решение:
5
2 k x
2 k , k Z
4
4

6. sin x > 0,5

sin x > 0,5
y
1
5π ̸ 6
π̸6
0,5
0
-1
x
5
x 2 n;
2 n , n Z
6
6

7.

На Оу отмечаем значение
1.
и проводим прямую у =
3
0,8
2
3
2
2
Подписываем
полученные точки.
Обязательно
учитываем, что
начало дуги –
меньшее значение.
sin x ≥ - 0,8
3.
y
Выделяем верхнюю
часть окружности
(обход - строго против
часовой стрелки).
2.
3
sin x
2
4
3
3
2
О
x
3
2
3
2 k x
4. Записываем решение:
4
2 k , k Z
3

8.

sin x > - 1,3
y
x R
1
0
-1
○ - 1,3
x

9. sinx ≤ 0,4

y
x1 = π ̶ arcsin 0,4
1
0,4
x1
sin x ≤ 0,4
π
0
x2 = 2 π + arcsin 0,4
x2
t 0 = arcsin 0,4
2π
x
x1 + 2πk ≤ x ≤ x2 + 2πk, kϵZ
-1
x ϵ [ π ̶ arcsin 0,4 + 2πk;
2 π + arcsin 0,4 +2πk], kϵZ

10.

Алгоритм решения неравенства cos x > a или cos x < a
Изобразить единичную окружность, отметить число x = a (cosα = x)
Провести прямую x = a
Выделить дугу окружности,
соответствующую знаку сравнения
(обход - строго против часовой
стрелки).
Записать числовые значения
граничных точек дуги.
Учитывая, что начало дуги –
меньшее значение.
y
cos x > a
0
х
х2
a
х1
y
cos x < a
х1
Записать решение неравенства Записать
ответ
х2
х 1 + 2πn < x < х 2 + 2πn, n ϵ Z
a
0
х

11.

1.
На Ох отмечаем значение
2
0,7
2
2
2
y
и проводим прямую х =
2
cos x
2
2
2.
3.
Выделяем правую
часть окружности
(обход - строго
против часовой
стрелки).
Подписываем
полученные точки.
Обязательно
учитываем, что
начало дуги –
меньшее значение.
3
4
cos x ≥ - 0,7
3
4
2 О
2
2
4. Записываем решение:
x
3
3
2 k x
2 k , k Z
4
4

12.

1.
На Оx отмечаем значение
1
и проводим прямую х =
2
1
2
y
2
2.
3.
Выделяем левую
часть окружности
(обход - строго
против часовой
стрелки).
Подписываем
полученные точки.
Обязательно
учитываем, что
начало дуги –
меньшее значение.
1
cos x
2
3
cos x ≤ 0,5
О
1
2
2
x
5
3 4. Записываем решение:
5
2 k x
2 k , k Z
3
3

13.

x R
cos х < 1,1
y
cos х < 1,1
-1
0
1,1
1
x

14.

cos x ≥ 0
y
2
2 k x
2
2
2 ,
x
-1
1
0
2

15.

Алгоритм решения неравенства tg x ≤ a
Изобразить
Показать единичную
точки, в которых
окружность
не определён
и провести
тангенс
линию тангенсов
Выделить
часть
На линии нижнюю
тангенсов
отметить
линии
поскольку
число тангенсов,
a и провести
луч через
решаем
неравенство
со знаком ≤
эту точку
и центр окружности
y
2
а
х2
Выделить соответствующие дуги
окружности (обход совершаем
против часовой стрелки)
Подписать полученные точки на
одной из дуг (вторая получается из
неё: к концам +π). Учесть , что
начало дуги – меньшее значение
Записать решение неравенства
х 1 + πn < x ≤ х 2 + πn, n ϵ Z
-1
0
х
1
2
Записать ответ.
1
x

16.

tg x ≤ 1
x (
2
k ;
4
y
2
4
1
k ], k Z
-1
0
5
4
2
1
x

17.

На линии тангенсов отмечаем
3 1 ,7
tgx 3
проводим луч через эту точку и
центр окружности
2. Выделяем нижнюю часть
линии тангенсов,
поскольку решаем
неравенство со знаком ≤ .
y
3 1,7
3.
4.
Выделяем
соответствующую
часть окружности
(обход совершаем
против часовой
стрелки).
2
3
О
tg x ≤ 1,7
1.
2
x
Подписываем полученные
5. Записываем решение:
точки. Обязательно
учитываем, что
2
начало дуги – меньшее
значение
k x
k , k Z
2
3

18.

На линии тангенсов отмечаем
значение 1
проводим луч через эту точку и
центр окружности
2.
3.
4.
Выделяем верхнюю часть
линии тангенсов, поскольку
решаем неравенство со
знаком ≥ .
Выделяем
соответствующую
часть окружности
(обход - строго
против часовой
стрелки).
Подписываем полученные
точки. Обязательно
учитываем, что начало
дуги – меньшее значение
y
2
4
1
4
2
О
tgx 1
tg x≥ 1
1.
x
2
5. Записываем решение:
k x
2
k , k Z