Касательная к окружности

1. Касательная к окружности

КАСАТЕЛЬНАЯ К
ОКРУЖНОСТИ
В С
ОR – радиус
А
.
СD – диаметр
О
AB - хорда
D
R

2. Дано:

ДАНО:
Окружность с центром в
точке О радиуса r
Прямая, которая не
проходит через центр О
Расстояние от центра
окружности до прямой
обозначим буквой s
s
r
O

3. Возможны три случая:

ВОЗМОЖНЫ ТРИ СЛУЧАЯ:
1) s<r
Если расстояние от
центра окружности
до прямой меньше
радиуса
окружности, то
прямая и
окружность имеют
две общие точки.
В
А
s<r
O
Прямая АВ называется секущей по отношению к окружности.

4. Возможны три случая:

ВОЗМОЖНЫ ТРИ СЛУЧАЯ:
2) s=r
M
Если расстояние от
центра окружности
до прямой равно
радиусу
окружности, то
прямая и
окружность имеют
только одну общую
точку.
s=r
O

5. Возможны три случая:

ВОЗМОЖНЫ ТРИ СЛУЧАЯ:
3) s>r
Если расстояние от
центра окружности
до прямой больше
радиуса
окружности, то
прямая и
окружность не
имеют общих
точек.
s>r
r
O

6. Касательная к окружности

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Определение:
Прямая, имеющая с
окружностью
только одну общую
точку, называется
касательной к
окружности, а их
общая точка
называется точкой
касания прямой и
окружности.
M
m
s=r
O

7. Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

СВОЙСТВО КАСАТЕЛЬНОЙ:
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К РАДИУСУ,
ПРОВЕДЕННОМУ В ТОЧКУ КАСАНИЯ.
m – касательная к
окружности с
центром О
М – точка касания
OM - радиус
m OM
M
m
O

8. Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она

ПРИЗНАК КАСАТЕЛЬНОЙ:
ЕСЛИ ПРЯМАЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ КОНЕЦ
РАДИУСА, ЛЕЖАЩИЙ НА ОКРУЖНОСТИ, И
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА РАДИУСУ, ТО ОНА
ЯВЛЯЕТСЯ КАСАТЕЛЬНОЙ.
окружность с центром О
M
радиуса OM
m
m – прямая, которая
проходит через точку М
и
m OM
O
m – касательная

9. Свойство касательных, проходящих через одну точку:

СВОЙСТВО КАСАТЕЛЬНЫХ,
ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ:
Отрезки касательных к
▼ По свойству касательной
окружности, проведенные
1 90o , 2 90o.
из одной точки, равны и
∆АВО, ∆АСО–
составляют равные углы
прямоугольные
с прямой, проходящей через
∆АВО=∆АСО–по гипотенузе
эту точку и центр окружности.
и катету:
В
ОА – общая,
1
О
3
4
2
С
А
ОВ=ОС – радиусы
АВ=АС и 3 4
▲

10. Задача

ЗАДАЧА
Дано:
OABC-квадрат
AB = 6 см
Окружность с
центром O радиуса 5
см
Найти:
секущие из прямых
OA, AB, BC, АС
О
О
А
С
В

11. Решение

РЕШЕНИЕ
Дано: АВСО - квадрат; АВ = 6см. Окружность (О;
5см).
Определить: какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС
секущие по отношению к окружности (О; 5см).
r < АВ, значит, прямые ОА и ОС - секущие.

12. Применение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ
Машиностроение

13.

Баллистика

14.

Архитектура

15.

Медицина

16.

Физика