Кодирование числовой информации. Системы счисления

1.

Кодирование числовой
информации
Системы счисления

2.

Цель: научиться переводить целые числа
из одной системы счисления в другую

3.

Задачи:
1.Познакомиться с различными системами
счисления;
2.Научиться
пользоваться
правилами
перевода из одной системы счисления в
другую

4.

Что такое система счисления?
Система счисления — это знаковая
система, в которой числа записываются
по определенным правилам с помощью
символов
некоторого
алфавита,
называемых цифрами.

5.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Непозиционные
системы
счисления
Позиционные
системы
счисления

6.

Непозиционные системы счисления
Непозиционные
системы счисления –
количественный эквивалент каждой цифры не
зависит от её положения (места, позиции) в
записи числа.
Унарная (единичная) система счисления;
Древнеегипетская десятичная система;
Римская система счисления;

7.

Унарная (единичная) система счисления
Унарная (лат. unus – один) – любое число
образуется путем повторения одного знака,
символизирующего единицу.

8.

Древнеегипетская десятичная система
Единицы
(черта)
–1
Десятки
(хомут)
– 10
Сотни
- 100
(веревка)
Тысячи
(лотос)
– 1000
=1235
2014 = ?

9.

Римская система счисления
В качестве цифр используются латинские буквы
I -1 V - 5 X - 10 L - 50 C - 100 D - 500 M – 1000
Правила записи:
1. Не ставят больше трех одинаковых цифр подряд;
2. Каждый меньший знак, поставленный справа от
большего, прибавляется к его значению, а каждый
меньший знак, поставленный слева от большего,
вычитается из него.
Пример:
IX – 9; XI - 11

10.

Римская система счисления
Примеры
MDCXLIV = 1000 +500 +100 -10 +50 -1 +5=1644
2389 =2000 +300 +80 +9
MM
CCC
LXXX
2389 = MMCCCLXXXIX
IX

11.

ЗАДАНИЕ
Какое число
представлено в
римской системе
счисления?
Представьте числа в
римской системе
счисления
MCDLXVII =
3768 =
MMDCXLIV =
2983 =
MMMCCLXXII =
CMXXVIII =
1452 =
1999 =

12.

Определения
Позиционные
системы
счисления
–
количественный эквивалент (значение) цифры
зависит от её места (позиции) в записи числа.
Позиция
цифры в числе называется разрядом.
Разряд
целого числа возрастает справа налево,
от младших разрядов к старшим, а для дробного
числа от запятой слева направо с отрицательным
значением.
3 2 1 0 -1 -2 -3
разряды
6 3 7 5, 5 5 5
Тысячи (103)
Сотни (102) Десятки (101) Единицы (100)

13.

Определения
Основанием позиционной системы счисления
называется целое число, которое равно количеству
цифр, используемых для изображения чисел в
данной системе счисления.
Основание системы счисления
нижним индексом к числу.
12345
приписывается
Основание
системы
счисления

14.

Алфавит системы счисления — это
используемый
в
ней
набор
цифр.
Для записи чисел в позиционной системе с
основанием n нужно иметь алфавит из n цифр.
Для этого при n
10 используют n первых
арабских цифр, а при n 10 к десяти арабским
цифрам добавляют латинские буквы.
Таблица 1. Алфавит нескольких систем счисления
Основание
Название
Алфавит
n =10
Десятичная
0123456789
n =2
Двоичная
01
n =3
Троичная
012
n =8
Восьмеричная
01234567
n =16
Шестнадцатиричная
0123456789
А(10) B(11) C(12)
D(13) E(14) F(15)

15.

Развернутая форма числа с основанием q
(q- ичная система счисления)
Развернутая форма записи числа – это запись
числа в виде суммы произведений его цифр на
основание системы счисления в степени, равной
значению разряда той или иной цифры числа.
Aq = an-1*qn-1+an-2*qn-2+…+a0*q0+a-1*q-1+…+a-m*q-m
Здесь:
Aq - число в q-ичной системе счисления,
q- основание системы счисления,
ai – цифры, принадлежащие алфавиту
системы счисления,
n – число целых разрядов числа,
m - число дробных разрядов числа
данной

16.

Перевод в десятичную систему
счисления из любой другой
Пример
разряд
Развернутая
форма числа
3 2 1 0
1 2 3 45 = 1*53 +2*52 +3*51 +4*50 = 19410
Основание
системы
счисления

17.

Задание
Перевести
в
счисления:
1) 3456
?10
десятичную
систему
3456 = 3*62 + 4*61 + 5*60 = 108+24+5 = 137
2) 1258
?10
1258 = 1*82 + 2*81 + 5*80 = 64+16+5 = 85

18.

Перевод из десятичной системы счисления
в любую другую
Правило:
Для перевода числа из десятичной системы в систему
счисления с основанием «p» нужно делить число на «р»,
отбрасывая остаток на каждом шаге, пока не получится
частное меньше делителя.
Затем выписать найденные остатки в обратном порядке.
Пример:
Перевести число 19410 в пятеричную
систему счисления
19410
?5
5
194
190 38
4 35
Ответ: 19410 = 12345
3
5
7
5
2
5
1

19.

Перевод из десятичной системы счисления
в любую другую
Задание
Перевести
восьмеричную
системы.
десятичное число 31510 в
и
в
шестнадцатеричную
31510 = 4738 = 13В16

20.

Контроль полученных знаний
Вариант 1 (ответы)
1. 1499
2. MMCDXLIV
3. 22910
4. 210123
5. 5226
Вариант 2 (ответы)
1. 2747
2. MMDCCCLXXXVIII
3. 284
4. 3657
5. 3028
Оценка результатов:
Каждый правильный ответ дает +1 балл

21.

Домашнее задание
Перевести 3278 – ?10
Перевести 10011102 – ?10
Перевести 4526 – ?10
Перевести 12510 –?2
Перевести 73110 - ?8
Перевести 32610 - ?16

22.

Перевод в десятичную систему
Через схему Горнера:
a3a2a1a0 = ((a3 p + a2) p + a1) p + a0
где «р» – основание системы счисления
Пример:
12345 = ((1 5 + 2) 5 + 3) 5 + 4 = 194

23.

Задание
Перевести при помощи схемы Горнера
3457
х 10
Решение:
3457 = (3*7+4)*7+5=180

24.

Поиск основания системы
счисления
Зная десятичное число и его запись в
некоторой позиционной системе счисления,
можно найти основание этой системы.
Например:
Число 71 в некоторой системе с основанием Х
записывается как 56х Определите основание
системы счисления X.

25.

Решение:
71 = 56X
•в записи есть цифра 6, поэтому X > 6
•переводим правую часть в десятичную
систему
56x= 5·X1 + 6·X0= 5·X + 6
•решаем уравнение
71 = 5·X + 6
X = 13
Ответ: 71=5613

26.

Поиск основания
В более сложных случаях может
получиться алгебраическое уравнение
второй (или еще более высокой)
степени.
Пример
В некоторой системе счисления
число 71 записывается как «155x»
Определите основание системы
счисления X.

27.

Задача:
71 = 155х
в записи есть цифра 5, поэтому X > 5
• переводим правую часть в десятичную
систему
155= 1·X2 + 5·X1 + 5·X0
решаем уравнение
71 = X2 + 5·X + 5
X2 + 5·X- 66 = 0
D= b2-4ac
X=6
X = -11
Х1, х2= -b+-√D
2

28.

Решить задачи:
1. Число 11 в некоторой системе с
основанием Х записывается как 23х
Определите
основание
системы
счисления X.
Ответ : Х= 4
2. В системе счисления с некоторым
основанием х число 12 записывается
в виде 110х. Найдите это основание.
Ответ: Х= 3

29.

Дробные числа: из десятичной в
любую (правило перевода)
1. Основание новой системы счисления
выразить в десятичной системе и все
последующие действия производить в
десятичной системе счисления.
2.
Последовательно умножать данное число
и
получаемые
дробные
части
произведений на основание новой
системы до тех пор, пока дробная часть
произведения не станет равной нулю или
не будет достигнута требуемая точность
представления числа в новой системе
счисления.

30.

Дробные числа: из десятичной в
любую (правило перевода)
3.
Полученные
целые
части
произведений, являющиеся цифрами
числа в новой системе счисления,
привести в соответствие с алфавитом
новой системы счисления.
4. Составить дробную часть числа в
новой системе счисления, начиная с
целой части первого произведения

31.

Дробные числа: из десятичной в
любую
Пример:
Перевести десятичную дробь 0,1875
в
двоичную,
восьмеричную
и
шестнадцатеричную
систему
счисления.

32.

Дробные числа: из десятичной в
любую
0
0
1
1
1875
2
3750
2
7500
2
5000
2
0000
Ответ : 0,1875 = 0,00112; 0,148; 0,316

33.

Перевод смешанных десятичных
чисел , содержащих целую и
дробную части
Осуществляют в два этапа.
Целая и дробная части исходного
числа переводятся отдельно по
соответствующим алгоритмам.
В итоговой записи числа в новой
системе счисления целая часть
отделяется от дробной запятой.

34.

Задание
Перевести смешанные десятичные числа
в троичную и пятеричную систему
счисления, оставив пять знаков в
дробной части нового числа.
40,5;
34,25

35.

Домашнее задание
1. Переведите смешанные десятичные
числа в двоичную и восьмеричную систему
счисления, оставив пять знаков в дробной
части нового числа.
432,54; 97,444
2. Запись числа 30 в системе счисления с
основанием N выглядит так: 110N Укажите
основание N этой системы счисления.