Решение систем линейных уравнений с несколькими неизвестными методом

1.

Решение систем линейных уравнений с
несколькими неизвестными методом
Крамера в программе Scilab.
Интегрированное занятие для дисциплин
информатика и математика в СПО.
Авторы проекта: Зыбина А.С.
Пашикина С.И.

2.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: a11x1 a12 x2
a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
31 1 32 2 33 3 3
где -
x1 , x2 , x3
b1 , b2 , b3
неизвестные,
- коэффициенты ( i 1,2,3; j 1,2,3 ),
ij
- свободные члены.
a
Тройка чисел ( 1 , 2 , 3 ) называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными, если при подстановке их в уравнения системы вместо x1 , x2 , x3 получают верные
числовые равенства.
Если система трёх линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется
совместной.
Если система трёх линейных уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.
Если система трёх линейных уравнений имеет единственное решение, то ее называют
определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.
Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется
однородной, в противном случае – неоднородной.

3.

МЕТОД КРАМЕРА
Пусть нам требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 ,
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ,
a x a x a x b ,
32 2
33 3
3
31 1
(1)
в которой определитель системы (он составлен из коэффициентов при неизвестных) ∆≠0, а
определители x , x , x получаются из определителя системы ∆ посредством замены
свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
1
2
a11 a12 a13
a21 a22 a32 ,
3
b1 a12 a13
x1 b2 a22 a32 ,
b3 a32 a33
a31 a32 a33
a11 b1 a13
a11 a12 b1
x2 a21 b2 a32 , x3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
a b a
31
3
33
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы ∆≠0, то рассматриваемая
система (1) имеет одно и только одно решение, причём
x1
x1
, x2
x2
, x3
x3
.

4.

РЕШИТЕ СИСТЕМУ МЕТОДОМ КРАМЕРА:
1.
2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
Решение:
Вычислим определитель системы:
2 3 1
1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 2 1 0 13.
1
0 2
Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет
единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2. Составим и вычислим необходимые определители :
9
3 1
1 9 2 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 3 3 2 9 1 0 52,
x1 3 2
2
2
0
2
9 1
x2 1
3
1 2 3 2 9 1 1 1 1 2 1 3 1 9 1 2 2 1 2 0,
1
2
2
2
3
9
x3 1 2
1
0
3 2 2 2 3 3 1 9 1 0 9 2 1 3 1 2 2 3 0 13.
2

5.

Решим систему методом Крамера:
2 x1 3 x2 x3 9,
x1 2 x2 x3 3,
x 2 x 2.
3
1
3.Находим неизвестные по формулам Крамера:
x1
x2
x3
Ответ:
x1
x2
x3
52
4,
13
0
0,
13
x1
13
1.
13
x1 4, x2 0, x3 1.
x1
, x2
x2
, x3
x3
;

6.

Решение систем линейных уравнений в
программе SCILAB
Для решения подобных систем уравнений в Scilab существует функция linsolve.
Обращение к ней выглядит следующим образом:
linesolve(K,k).
K — таблица, составленная из коэффициентов уравнений системы, причем она
сформирована таким образом, что каждая строка представляет собой список
коэффициентов одного из уравнений системы, а каждый столбец — список
коэффициентов при одноименных переменных, то есть если первым элементом в первой
строке является коэффициент при y, то первыми элементами других строк также должны
быть коэффициенты при y в соответствующих уравнениях.
Общий вид K:
K=

7.

Для решаемой системы:
К=
k — столбец, содержащий свободные (стоящие после знака «=»)
коэффициенты.
Примечание: при задании в Scilab k должен быть именно столбцом,
поэтому перечисление переменных нужно делать через «;»
Общий вид:
k: =
Для решаемой системы
к=

8.

После того как элементы списков K и k определены,
приступим к решению системы в Scilab

9.

10.

Второй корень (5.888D-16) нужно округлить.
Получится 0.
Таким образом, решение системы принимает вид: (4; 0; -1).
Для проверки можно посчитать детерминанты (определители) матриц отдельно.
Процесс будет более длительным.
Рассмотрим такой способ решения.

11.

12.

Задание для самостоятельной работы: решить систему уравнений с
помощью системы Scilab и проверить полученное решение вручную.