Похожие презентации:
Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
1. Тема №3 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Краснодарский университет МВД Россииa a a ... a1n
22
M
M (( X
X )) (( M
M (( X
X ))
))
a a a ... a 2 n
по дисциплине «Численные методы
специальность 10.05.05 Безопасность
информационных технологий в
A
a 31«Технологии
a 32 защиты
a 33 информации
... a 3 n в
bbправоохранительной сфере специализация
правоохранительной сфере»
... ... ... ... ...
Тема
an№3
n2
an 3линейных
... ann
Численные методы решения
1 aсистем
12
13
Кафедра информатики11и математики
22
Учебно-наглядное
21 пособие
22
23
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
aa
алгебраических уравнений
Обсуждена и одобрена
на заседании кафедры
информатики и математики
Протокол № 20
от «01» июня 2022 г.
Лекция 2
Подготовил:
Заместитель начальника кафедры
канд. физико-математических наук
полковник полиции Е.В. Михайленко
Краснодар
2022
2.
Цель лекции: рассмотреть основные понятия системлинейных алгебраических уравнений, изучить матричный
метод, метод Крамера и метод Гаусса решения таких
систем, рассмотреть применение метода Гаусса для
нахождения обратной матрицы, ознакомиться с понятиями
и методами решения однородных систем алгебраических
уравнений, фундаментальной системой решений.
Материально-техническое
видеопроектор, экран.
обеспечение:
компьютер,
Учебно-методическое обеспечение: учебно-методический
материал в электронном виде, программный комплекс
«Системы линейных уравнений».
3.
Основные вопросы1. Метод итераций
2. Метод Зейделя
4. 1. Метод итераций
Простейшим итерационным методом решения СЛАУ является методпростой итерации.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными.
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a x a x a x ... a x b
23 3
2n n
2
21 1 22 2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 ... a3n xn b3 (1)
an1 x1 an 2 x2 an 3 x3 ... ann xn bn
Для того чтобы применить метод простой итерации, необходимо
систему уравнений привести к виду: х=Вх+с.
(2)
5.
Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность приближений,причем приближение строится следующим образом:
(3)
Последняя система (3) представляет собой расчетные формулы
метода простой итерации.
6.
Полученную систему (3) можно использовать, как итерационныеформулы, учитывая, что справа в равенствах стоят значения
переменных xi, полученные на предыдущем n-1 шаге вычислений, а
слева - новые значения на n щаге.
Сходимость метода простой итерации. Известно следующее
достаточное условие сходимости метода простой итерации. Если
элементы матрицы удовлетворяют условию:
то итерационная последовательность сходится к точному решению.
На практике для обеспечения сходимости итерационных методов
необходимо, чтобы значения диагональных элементов матрицы
СЛАУ были преобладающими по абсолютной величине по
сравнению с другими элементами.
7.
Критерий окончания.Если требуется найти решение с точностью ε.
Зададим начальные приближения
и вычислим правую часть каждого уравнения системы (3), получим
новые приближения
Таким образом организуется итерационный процесс, который
заканчивается по условию: вычисления ведутся до тех пор, пока все
величины
8.
Пример 1.Решить систему уравнений методом простой итерации с точностью ε=0,001
Заметим, что метод простой итерации сходится, так как выполняется условие
преобладания диагональных элементов:
Приведем систему к виду:
9.
В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободныхчленов:
Вычисления будем вести до тех пор, пока все величины не станут
меньше
Последовательно вычисляем при k=1:
При k=2:
10.
11.
2. Метод ЗейделяПусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными.
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a x a x a x ... a x b
23 3
2n n
2
21 1 22 2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 ... a3n xn b3
an1 x1 an 2 x2 an 3 x3 ... ann xn bn
(1)
Разделим обе части каждого уравнения на диагональные элементы
x1 a12 / a11 x2 a13 / a11 x3 ... a1n / a11 xn b1 / a11
a / a x x a / a x ... a / a x b / a
23
22 3
2n
22 n
2
22
21 22 1 2
a31 / a33 x1 a32 / a33 x2 x3 ... a3n / a33 xn b3 / a33
an1 / ann x1 an 2 / ann x2 an 3 / ann x3 ... xn bn / ann
12.
Выразим из этой системы в каждом уравнении по одной неизвестнойx1 b1 / a11 ( a12 / a11 x2 a13 / a11 x3 ... a1n / a11 xn )
x2 b2 / a22 ( a21 / a22 x1 a23 / a22 x3 ... a2 n / a22 xn )
( 2)
x3 b3 / a33 ( a31 / a33 x1 a32 / a33 x2 a34 / a33 x4 ... a3n / a33 xn )
xn bn / ann ( an1 / ann x1 an 2 / ann x2 an 3 / ann x3 ... an ,n 1 / ann xn 1 )
Таким образом, систему уравнений можно записать в матричном виде
X B A X
0
b1 / a11
x1
a21 / a22
b2 / a22
x2
b / a ; A a / a
B
31
33
X x3 ;
3
33
...
a / a
b / a
x
n1 nn
n nn
n
,
(3)
a12 / a11
a13 / a11
0
a23 / a22
a32 / a33
0
...
...
an 2 / ann
an 3 / ann
где
... a1,n / a11
... a2 n / a22
... a3n / a33 .
...
...
...
0
13.
Используя соответствующую полученной системе рекуррентнуюn
формулу
(k )
xi bi aij x (j k 1) ( 4)
j 1
на каждом k-том шаге получим новое значение i-той переменной.
Основная идея метода Зейделя состоит в том, что новые
полученные значения xi используются сразу же по мере получения для
расчета следующих переменных xi+1, xi+2, ..., xi+k.
Последовательно выполняя вычисления по строкам, получим:
x (2k ) a13
x (3 k ) ... a1n x (nk ) )
x 1( k 1) b1 ( a12
( k 1)
x 1( k 1) a23
x (3 k ) ... a2 n xn )
x 2 b2 ( a21
( k 1)
( k 1)
( k 1)
(k )
(k )
x
b
(
a
x
a
x
a
x
...
a
x
(5)
3
3
31 1
32 2
34 4
3n n )
xn bn ( an 1 x ( k 1) an 2 x ( k 1) an 3 x ( k 1) ... an ,n 1 x ( k 1) )
1
2
3
n 1