Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни

1.

Арифметическая
и геометрическая прогрессии в
окружающей нас жизни
Учитель математики МБОО «Лицей села Верхний Мамон» :
Ефимьева Наталья Викторовна

2.

Слово «прогрессия» имеет латинское
происхождение (progression, что
означает «движение вперед»)
В первые встречается у римского автора
Боэция (V-VI в.).

3.

Уже в V в. до н.э. греки знали
следующие прогрессии и их суммы:
1)1+2+3+…+n = ,
2)2+4+6+…+2n = n(n+1),
3)1+3+6+…+(2n+1) = (n+1)2

4.

Арифметические прогрессии в древности
Вавилонская задача
2
3
«10 братьев, 1 мины серебра.
Брат над братом поднимается, на сколько поднимается,
не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом - на
сколько он выше?»
Решение:
2
Начинается решение с нахождения средней арифметической (средней доли), деля 13
10
мины на 10 и получая 60 мины, ее умножает затем на два.
20
Итак, удвоенная средняя доля есть 60 мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого
братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени
(интервала).
Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет
Отсюда и находится значение одной ступени, т. е. разность прогрессии,
1
5
от
8
60
1
36
мины, или 60 + 3600 мины.
8
60
мины.

5.

Геометрические прогрессии в древности
Задача легенда
Индийский царь Шерам позвал к себе
изобретателя шахматной игры, своего
подданного Сету, чтобы наградить его за
остроумную выдумку. Сета, издеваясь над
царем, потребовал за первую клетку шахматной
доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью
— 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся
над Сетой и приказал выдать ему такую
«скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

6.

Решение задачи - легенды
Дано: геом. прогрессия;
b1 1,
1, 2, 4, 8, 16…
g 2, n = 64
S 64 ?
S 64 2 1
64
264-1=18 446 744 073 709 551 615

7.

Если бы царю удалось засеять пшеницей
площадь всей поверхности Земли, считая
моря, и океаны, и горы, и пустыню, и
Арктику с Антарктикой, и получить
удовлетворительный урожай, то, пожалуй,
лет за 5 он смог бы рассчитаться.
Такое количество зерен
пшеницы можно
собрать лишь с
площади в 2000 раз
большей поверхности
Земли. Это превосходит
количество пшеницы,
собранной
человечеством до
настоящего времени.

8.

Прогрессии в жизни и быту
Для решения некоторых
задач по физике,
геометрии, биологии,
химии, экономике,
строительному делу
используются формулы
арифметической
и геометрической
прогрессий.

9.

Применение прогрессий в разных отраслях
Геометрия: Вписанные друг
правильные
треугольники
геометрическую прогрессию.
в друга
образуют

10.

Применение прогрессий в разных отраслях
Химия: при повышении температуры по
арифметической прогрессии скорость
химической реакций растёт по геометрической
прогрессии.

11.

Применение прогрессий в разных отраслях
Биология. «Бактерия, попав в живой организм, к
концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из
них к концу следующих 20 минут делится опять на две
и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной
бактерии к концу суток»

12.

Решение:
В сутках 1440 минут, каждые
двадцать минут появляется новое
поколение - за сутки 72 поколения.
По формуле суммы n первых
членов геометрической прогрессии,
у которой b1=1, q=2, n=72, находим,
что
S72=272-1=
4 722 366 482 869 645 213 696 - 1 =
4 722 366 482 869 645 213 695.

13.

Применение прогрессий в разных отраслях
Физика. При свободном
падении тело прошло в
первую секунду 5м, а в
каждую следующую на
10м больше. Найдите
глубину шахты, если
свободно падающее тело
достигло его дна через 5 с.
после начала падения.

14.

Решение:
Составим математическую
модель задачи:
в первую секунду 5м,
во вторую секунду 15м,
в третью секунду 25м,
в четвертую секунду 35м,
в пятую секунду 45м.
Всего за пять секунд
5+15+25+35+45=125(м).

15.

Применение прогрессий в разных отраслях
Медицина. Больной принимает лекарство
по следующей схеме: в первый день он
принимает 5 капель, а в каждый
следующий день — на 5 капель больше,
чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он
3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом
ежедневно уменьшает прием на 5 капель,
доведя его до 5 капель. Сколько
пузырьков лекарства нужно купить
больному, если в каждом содержится 20
мл лекарства (что составляет 250 капель)?

16.

Решение:
Составим математическую модель задачи:
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
ап=а1+d(n-1),
40=5+5(п-1),
п=8,
Sп=((a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180,
180 капель больной принимал по схеме в первый
период и столько же по второй период. Всего он
принял 180+40+180=400(капель), всего больной
выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо
купить 2 пузырька лекарства.

17.

Применение прогрессий в разных отраслях
Экономика: прогрессия имеет очень широкое
применение в экономике. С её помощью банки
производят расчеты с вкладчиками, определяют,
какие средства можно разместить в кредиты,
решают, стоит ли вкладывать средства в крупные
проекты, доход от которых будет получен через
несколько лет и т.д. Так, вклады в банках
увеличиваются по схемам сложных и простых
процентов. Простые проценты – увеличение
первоначального вклада в арифметической
прогрессии. Сложные проценты – увеличение
первоначального вклада в геометрической
прогрессии.

18.

Вывод
Зная эти формулы, можно
решить много интересных задач
литературного, исторического и
практического содержания.