Формула Байеса

1.

ФОРМУЛА
БАЙЕСА
19.02.2024

2.

ЦЕЛИ УРОКА
образовательные:
изучить формулу Байеса;
научить решать задачи на нахождение вероятностей сложных
событий;
научить применять понятия теории вероятностей в реальных
ситуациях.
воспитательные:
способствовать развитию знаний, пробудить у учащихся интерес к
изучению предпосылок открытия новых понятий;
формировать у учащихся научное мировоззрение;
продолжать формировать умение самостоятельно работать с
различными источниками информации, обобщать материал;
развивать интеллектуальные и творческие способности учащихся.
развивающие:
способствовать развитию общения как метода научного познания,
аналитического мышления, смысловой памяти, внимания; умения
работать с дополнительной литературой;
развитию навыков исследовательской деятельности.
19.02.2024

3.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ
ВЕРОЯТНОСТИ
Если событие А может произойти
только при выполнении одного из
событий
, которые
образуют полную группу
несовместных событий, то
вероятность события А вычисляется
по формуле:
19.02.2024

4.

ФОРМУЛА БАЙЕСА
• Рассмотрим событие А, которое может
наступить лишь при
появления одного из
несовместных событий В1, В2, В3,…,Вn ,
образующих полную группу. Если событие А уже
произошло, то вероятность событий В1, В2,
В3,…,Вn можно определить по формуле Байеса
P ( Bi ) P( A / Bi )
P ( Bi / A)
Р ( А)
19.02.2024

5.

Теорема Бейеса
• Теорема Байеса, названная так в честь пресвитерианского
священника XVIII века Томаса Байеса [правильная транскрипция –
Бейз / прим. перев.] – это метод подсчёта обоснованности верований
(гипотез, заявлений, предложений) на основе имеющихся
доказательств (наблюдений, данных, информации). Наипростейшая
версия звучит так:
изначальная вера + новые свидетельства = новая, улучшенная вера
• Если подробнее: вероятность того, что убеждение истинно с учётом
новых свидетельств равна вероятности того, что убеждение было
истинно без этих свидетельств, помноженной на вероятность того,
что свидетельства истинны в случае истинности убеждений, и
делённой на вероятность того, что свидетельства истинны вне
зависимости от истинности убеждений.

6.

Теорема Бейеса
Простая математическая формула выглядит так:
P(B|E) = P(B) * P(E|B) / P(E)
Где P – вероятность, B – убеждение, E – свидетельства. P(B) –
вероятность того, что B – истинно, P(E) – вероятность того, что E
истинно. P(B|E) – вероятность B в случае истинности E, а P(E|B) –
вероятность E в случае истинности B.

7.

Oсновные сферы применения формулы
Байеса
1) Математический инструмент в теории вероятностей.
2) В статистике – как обобщение предшествующего опыта.
Предполагается, что нами накоплен опыт, позволяющий
экспериментально(!) оценить априорное распределение
вероятностей. Далее мы верим в то, что рассматриваемый нами
новый объект относится к той же группе. Это позволяет строить
классификаторы, основанные на байесовской формуле.

8.

Oсновные сферы применения формулы
Байеса
3) В статистике - для сравнения разных моделей в случае, когда
априорные распределения настолько нечетки, что вообще
несущественны. Очень часто используется BIC (байесовский
информационный критерий).
4) Описание умонастроения. Сторонники интерпретации
вероятности события как меры субъективной уверенности в его
возможности могут пересчитывать эти величины в процессе
появления новых данных. Очевидно, что математика здесь
может быть подобной мельнице перемалывающей труху:
произвол в определении априорных вероятностей может быть
опасным.

9.

ЗАДАЧА 1
Два автомата производят одинаковые детали.
Производительность первого автомата в два раза
больше производительности второго. Вероятность
производства отличной детали у первого автомата
равна 0,60, а у второго 0,84. Наудачу взятая для
проверки деталь оказалась отличного качества.
Найти вероятность того, что эта деталь
произведена первым автоматом.
19.02.2024

10.

ЗАДАЧА 2
Число грузовых машин, проезжающих по шоссе,
на котором стоит бензоколонка, относится к числу
легковых машин, проезжающих по тому же шоссе,
как 4:1. Вероятность того, что будет заправляться
грузовая машина, равна 0,2; для легковой машины
эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке
подъезжала для заправки машина. Найти
вероятность того, что эта машина грузовая
19.02.2024

11.

ЗАДАЧА 3
Три студентки живут в одной комнате и
по очереди моют посуду. Вероятность
разбить тарелку для первой студентки равна
0.03, для второй 0.01, для третьей - 0.04. На
кухне раздался звон разбитой тарелки.
Найти вероятность того, что третья
студентка мыла тарелку.
19.02.2024

12.

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ
1. На контроль поступают одинаковые блюда,
изготовленные двумя поварами. Производительность
первого повара вдвое больше, чем второго. Процент брака
у первого 0.08, а у второго - 0.06. Проверенное блюдо не
удовлетворяет требованиям контроля. Найти вероятность
того, что блюдо приготовлено первым поваро
2. На хим. заводе установлена система аварийной
сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация
звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0.95,
звуковой сигнал может срабатывать случайно и без
аварийной ситуации с вероятностью 0.05, реальная
вероятность аварийной ситуации равна 0.004.
Предположим, звуковой сигнал сработал. Чему равна
вероятность реальной аварийной ситуации ?
19.02.2024

13.

РЕШИТЬ ЗАДАЧИ
3. Устройство состоит из двух независимо
работающих элементов. Вероятность отказа
первого элемента равна 0.3, второго - 0.6. Найдите
вероятность того, что не отказал первый элемент,
если известно, что какой-то один из элементов
отказал ?
4. Два стрелка независимо один от другого
стреляют по одной мишени, делая каждый по
одному выстрелу. Вероятность попадания в
мишень для первого стрелка 0.8, для второго - 0.4.
После стрельбы в мишени обнаружена одна
пробоина. Найти вероятность того, что в мишень
попал второй стрелок.
19.02.2024

14.

Домашнее задание
1. Три орудия сделали залп по цели. Два орудия
попали в цель. Найти вероятность того, что 1-е
орудие попало в цель, если вероятности попадания
в цель для орудий соответственно равны 0.1, 0.9,
0.95.
2. Каждое изделие в партии изготовлено на одном
из двух станков. Вероятность брака на одном
станке равна 0.04, на другом - 0.08. Найти
вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных
по 5 на каждом станке, будет не менее 9 годных.
Ответы: 1. Р
28
0,018 2.
1567
Р 0,88
19.02.2024