Экономико- математические методы и модели (лекция 1)

1.

Экономико-математические
методы и модели
к.э.н., доц. Косухина М.А.

2.

Организационные вопросы: контактная информация
• Email: [email protected]
• Консультационные часы:
• Вторник, 10.30-11.30, ауд. 5302
• По договоренности.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

3.

Организационные вопросы:
материалы для чтения
все книги доступны в системе МУДЛ
• Вентцель, Е. С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. - М.: Высшая
школа, 2018. - 208 c.
• Сборник
задач
и
упражнений
по
высшей
математике:
Мат.
программирование: Учеб. пособие / А.В.Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И.Холод и
др.; Под общей ред. А.В. Кузнецова, Р.А. Рутковского. – Мн. Высш. шк. 2002.
• Высшая математика для экономистов.: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер,
Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман, Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.:
Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003.
• Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах. В 2-х ч. Ч.1,2. Учеб. пособие для втузов. – М.: Издательский дом
«ОНИКС 21 век» Мир и образование, 2003.
• Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах:
Учеб. пособие для студентов эконом. Спец. Вузов. – М.: Высш. шк., 1986.
• Хемди, А. Таха Исследование операций / Хемди А. Таха. - М.: Вильямс,
2019. - 912 c.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

4.

Организационные вопросы: методика текущего и
промежуточного контроля
• 16 лекций;
• 16 практических занятий;
• 4 ИДЗ;
• 4 коллоквиума;
• экзамен.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

5.

Примерный тематический план лекционных занятий
07.02 – Составление математических моделей
экономических задач. 14.02 – Графический метод
решения ЗЛП
14.02 – Каноническая форма ЗЛП. Симплекс-метод
решения ЗЛП
21.02 –Теория двойственности
28.02 – Двойственный симплекс-метод
06.03 – Метод искусственного базиса
13.03 –Транспортная задача ЛП (ТЗЛП)
20.03 –ТЗЛП с ограничениями/
27.03 –Целочисленная ЗЛП. Метод Гомори.
03.04 – Основы теории графов.
10.04 – Конференция «Современные проблемы
менеджмента».
17.04 –Сетевое планирование и управление.
24.04 – Построение минимального остовного дерева.
01.05 – Праздничный день
08.05. -Максимальный поток в графе. Метод
ФордаФалкерсона.
Кратчайший
путь.
Алгоритм Дейкстры.
15.05 –Основы теории игр. Игры в смешанных и
чистых стратегиях. Платежная матрица.
22.05 – Элементы эконометрики.
29.05 – День «досдачи» всех работ
июнь – экзамен примерно 13. 06. 2024
Справочно:
Согласно
графику
учебного
процесса на весенний семестр 2023-2024 уч.
года: Сессия 10.06.2024 – 24.06.2024
Алгоритм Прима, Курскала.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

6.

Тематический план практических занятий
07.02 – Введение в предмет. Составление математических моделей экономических задач.
14.02 – Графический метод решения ЗЛП.
21.02 – Коллоквиум № 1
28.02 – Каноническая форма ЗЛП. Симплекс-метод решения ЗЛП.
06.03 – Теория двойственности.
13.03 – Двойственный симплекс-метод.
20.03 – Метод искусственного базиса.
27.03 – Коллоквиум №2
03.04 –Транспортная задача ЛП (ТЗЛП).
10.04 – Конференция «Современные проблемы менеджмента».
17.04 – ТЗЛП с ограничениями.
24.04 – Целочисленная ЗЛП. Метод Гомори.
08.05 – Коллоквиум № 3
15.05– Элементы эконометрики.
22.05 – Коллоквиум №4
29.05 – Коллоквиум для «должников» на лекции
Июнь – Экзамен
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

7.

Организационные вопросы: методика текущего и
промежуточного контроля
• Для допуска к экзамену необходима сдача всех ИДЗ и
коллоквиумов;
• Оценка за экзамен выставляется по результатам текущего
контроля ТОЛЬКО в случае личного присутствия студента с
зачетной книжкой в назначенное время экзамена
• В случае необходимости повышения оценки, студенту
предоставляется возможность сдать экзамен по билету,
включающему 2 теоретических вопроса из списка вопросов
и 1 задачу.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

8.

Организационные вопросы: методика текущего и
промежуточного контроля
Критерии оценки:
В ходе текущей аттестации максимальный балл 40 баллов: (20 баллов
коллоквиум + 20 баллов за ИДЗ) + возможны доп. баллы за работу в
течение семестра.
37-40 баллов – отлично
32 -36 баллов – хорошо
25-33 балла - удовлетворительно
В ходе сдачи аттестационного испытания максимальный балл 40
баллов.
Ответ на 1 теоретический вопрос билета оценивается в 10 баллов.
Верное решение задачи из билета оценивается в 20 баллов.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

9.

Лекция 1
Введение в предмет

10.

Введение в предмет
Учебные вопросы:
• Моделирование как метод выбора и обоснования решений
в экономике и менеджменте.
• Сущность и этапы экономико-математического
моделирования.
• Классификация экономико-математических моделей.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

11.

Метод математического моделирования
в экономике
• Определение.
ЭММиМ
представляет
собой
одну
из
фундаментальных
математических
дисциплин,
стремящихся
приоткрыть занавес над устройством внутренних механизмов
сложных экономических систем
• Цель ЭММ – количественная оценка экономических процессов,
протекающих в рамках исследуемой экономической системы
• Экономическая система – любой хозяйствующий объект вне
зависимости от формы собственности
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

12.

Математическая модель
• Под
математической
моделью
понимают
систему
математических и логических соотношений, описывающих при
определенных ограничениях и допущениях структуру и процессы,
протекающие в моделируемом объекте.
• С помощью математической модели можно по известным исходным
данным получить новые, заранее неизвестные данные об
исследуемом объекте или явлении.
• Математическая модель является наиболее общей и абстрактной
моделью. Модель может быть представлена в виде набора
графиков, таблиц или системы математических
уравнений и неравенств, с помощью которых можно
однозначно определить значения одних переменных по
известным значениям других переменных.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

13.

Основные свойства математической модели
Простота. Проста в понимании. Простота
Простота
Полнота
Адекватность
07.02.2024
математического аппарата. Не отягощена
лишними переменными, которые слабо
влияют на развитие экономической системы
(Все гениальное – просто)
Полнота.
Включены
все
факторы,
влияющие на достижение цели. Учтены все
условия, которые
ограничивают развитие
системы. Имеется возможность получить
ответ на все вопросы, поставленные в задаче.
Адекватность. Возможность достижения
цели с приемлемой точностью.
Лекция 1 ЭМММ

14.

Переменные и параметры модели
• Переменные модели (факторы) – это переменные величины,
которые характеризуют структуру и состояние экономической
системы
• Экзогенные (независимые) переменные – это переменные,
значения которых формируются вне модели
• Эндогенные (зависимые) переменные – это переменные,
значения которых формируются внутри модели, в зависимости
от значений экзогенных переменных
• Параметры модели – числовые константы, которые
участвуют в модели с целью обеспечения ее адекватности
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

15.

Основная задача моделирования
Моделирование сводится к тому, чтобы с помощью
математических функций установить вид связи между
эндогенными и экзогенными переменными системы
Y = f(x1, x2,…,xk, a1,a2,…,an)
где: Y – эндогенная переменная;
xi – экзогенные переменные;
ai – параметры модели
Модель, в конечном счете, – некоторая функциональная
связь между независимыми и зависимыми переменными
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

16.

Структура экономической задачи
Ограничения
Факторы
х1
х2
х3
Экономическая
Система
Ограничения
Внешняя среда
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ
Y
Результат

17.

Этапы решения экономических задач методами
математического моделирования
Формализация экономической
задачи
Сбор и первичная обработка
информации о изучаемой системе
Математическая обработка
данных, построение модели
Решение экономической задачи с
помощью полученной модели.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

18.

Этапы решения экономических задач методами
математического моделирования
• Формализация задачи. Всестороннее изучение структуры и
свойств экономической системы, выявление ограничений,
факторов и переменных,
на основе имеющегося
качественного анализа системы. Выбор класса функций и
запись математической модели в общем виде.
• Сбор и первичная обработка информации. Наблюдение за
развитием экономической
системы,
регистрация
значений всех переменных системы. Статистический
анализ полученной
информации
на
полноту
и
достоверность.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

19.

Этапы решения экономических задач методами
математического моделирования
• Построение модели. Вычисление всех неизвестных
параметров модели по результатам наблюдения за
развитием системы. Проверка полученной модели на
адекватность.
• Решение экономической задачи. Решение задачи об
оптимальном
управлении
экономической
системой
математическими методами.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

20.

Структура методов принятия решений
Проблема принятия
решения
нет
Одно лицо
да
нет
Многокритериальная
оптимизация
да
Одна цель
Определенность
нет
Принятие решения
в условиях
неопределенности
нет
Нелинейное
программирование
да
Линейность
да
нет
Теория игр
Линейное
программирование
07.02.2024
Целочисленность
да
Целочисленное
программирование
Лекция 1 ЭМММ

21.

Этапы формализация проблемы, как задачи ЛП :
1. понять проблему, составить описательную модель задачи;
2. идентифицировать основные переменные задачи;
3. выбрать количественную меру эффективности цели;
4. представить эту меру эффективности как линейную функцию
относительно основных переменных;
5. идентифицировать и представить все ограничения как линейные
уравнения или неравенства относительно основных переменных;
6. собрать количественные данные или сделать соответствующие
оценки для всех параметров модели.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

22.

Математические предположения для задачи ЛП:
определенность (детерминированность) – все параметры
модели известны точно или могут быть оценены;
линейность
(эквивалентна
пропорциональности
и
аддитивности) – все функциональные соотношения модели
линейны относительно основных переменных;
пропорциональность – эффект
влияния переменной задачи
пропорционален значению этой переменной;
аддитивность – эффект влияния нескольких переменных задачи
равен сумме эффектов от каждой переменной;
делимость – все основные переменные задачи могут принимать
произвольные вещественные значения в определенном диапазоне
(бесконечно делимы).
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

23.

Составление математической модели включает:
• выбор переменных задачи;
• составление системы ограничений;
• выбор целевой функции.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

24.

Пример 1
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

25.

Решение
• Допустим, что будет изготовлено Х1 изделий вида А, Х2
-
изделий вида В и Х3 -изделий вида С.
• Тогда для производства такого количества изделий потребуется
затратить 2x1+4x2+5x3 станко-часов фрезерного оборудования.
• Так как общий фонд рабочего времени станков данного типа не
может превышать 120, то должно выполняться неравенство
2x1+4x2+5x3 ≤ 120
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

26.

Решение
Рассуждая аналогично, можно составить систему
ограничений:
2 x1 4 x2 5 x3 120,
x 8 x 6 x 280,
1
2
3
7 x1 4 x2 5 x3 240,
4 x1 6 x2 7 x3 360.
x1 0, x2 0, x3 0.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

27.

Решение
Теперь составим целевую функцию.
Прибыль от реализации
изделий вида А составит 10 Х1 ,
от
реализации изделий вида В -14 Х2 и от изделий вида С - 12
ХF3 10 x1 14 x2 12 x3
Общая прибыль от реализации всех изделий составит:
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

28.

Пример 2
Продукцией
молокозавода
являются
молоко,
кефир
и
сметана,
расфасованные в тару. На производство 1 т молока, кефира и сметаны
требуется соответственно1010,1010 и 9450 кг молока.
При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира
составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты
специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства
цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока.
Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а
автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов.
Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна
30, 22 и 136 руб.
Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока,
расфасованного в бутылки. На производство другой продукции нет
ограничений.
Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует
ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ
максимальной.
Составить математическую
модель задачи.

29.

Решение
Пусть завод будет производить х1 т молока, х2 т кефира и х3 т сметаны.
Тогда ему необходимо 1010 x1 1010 x2 9450 x3
кг молока.
Так как завод может использовать ежедневно не более 136000 кг
молока, то должно выполняться неравенство
1010 x1 1010 x2 9450 x3 136000
Ограничения на время по расфасовке молока и кефира 0,18x1 0,19 x2 21, 4
и по расфасовке сметаны 3, 25 x3 16, 25 .
Так как ежедневно должно вырабатываться не менее100 т молока, то x1 100
.
По экономическому смыслу x2 0, x3 0.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

30.

Решение
• Ограничения на время по расфасовке молока и кефира 0,18x1 0,19 x2 21, 4
и по расфасовке сметаны 3, 25 x3 16, 25 .
• Так как ежедневно должно вырабатываться не менее100 т
молока, то x1 100 .
• По экономическому смыслу x2 0, x3 0.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

31.

Решение
Общая прибыль от реализации всей продукции равна
30 x1 22 x2 136 x3
руб.
F 30 x1 22 x2 136 x3 max
Таким образом, приходим к следующей задаче:
при ограничениях 1010 x
1
1010 x2 9450 x3 136000,
0,18 x 0,19 x
1
2
3, 25 x2
x1
x1 0, x2 0, x3 0.
21, 4,
16, 25,
100,
Так как целевая функция линейная и ограничения заданы системой неравенств, то
эта задача является ЗЛП.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

32.

Пример 3. Задача о смесях.
Имеется два вида продукции P1 , P2 , содержащие питательные
вещества s1 , s2 , s3 , s4(жиры, белки и т.д.)
Составить математическую модель задачи.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

33.

Решение
Общая стоимость рациона F 3 x1 4 x2 min
при ограничениях с учетом необходимого минимума питательных
веществ
x1 2 x2 10,
3 x 2 x 8,
1
2
2 x1 x2 9,
2 x1 2 x2 11,
x1 0, x2 0.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

34.

Тема 2
“Задача линейного программирования (ЗЛП).
Каноническая форма ЗЛП.
Графический метод решения ЗЛП"

35.

Учебные вопросы
•Задача линейного программирования (ЗЛП);
•Канонический вид ЗЛП;
•Основные теоремы линейного программирования;
•Графический метод решения ЗЛП.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

36.

Задача линейного программирования
Общая задача линейного программирования – это задача, в
которой требуется найти максимум или минимум (оптимум) функции,
называемой функцией цели, при ограничениях, заданных системой
линейных неравенств или уравнений.
ЗАДАЧА МАКСИМИЗАЦИИ ЛП
ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ЛП
max z max(c1x1
cn x n )
при ограничениях
ai 1x1
ain xn bi , i 1, m,
ai 1x1
x j 0, j 1, n.
x j 0, j 1, n.
min z min(c1x1
при ограничениях
ain xn bi , i 1, m,
x j , j 1, n переменные
z c1x1
cn xn целевая функция
x j 0, j 1, n условие неотрицательности переменной
с j , aij , bi заданные параметры Лекция 1 ЭМММ
07.02.2024
cn x n )

37.

Общая ЗЛП может быть легко сведена к стандартной форме записи при помощи
четырех действий:
1. Структурные ограничения типа ≥ в общей ЗЛП заменяются на
ограничения типа путем их умножения на (-1).
2. Структурные ограничения типа = в общей ЗЛП заменяются на
неравенства типа с помощью вычитания из левой части равенств вновь
введенных неотрицательных переменных.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

38.

3. Если в общей ЗЛП целевая функция стремиться к минимуму, нужно ее
умножить на (-1). Полученная целевая функция будет стремиться к
максимуму. При этом оптимальный план исходной задачи не изменится.
Геометрически это будет выглядеть так:
Рис. 1. Геометрическая иллюстрация замены знака в целевой функции
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

39.

4. В стандартной форме записи ЗЛП переменные неотрицательные.
Поэтому, если в общей ЗЛП переменная xs не определена по знаку, то
вводятся две новые неотрицательные переменные xs1 и xs2 . Тогда
переменная xs представляется как разность этих двух новых переменных
x s1 0, x s 2 0;
07.02.2024
x s x s1 x s 2
Лекция 1 ЭМММ

40.

Канонический вид ЗЛП
Канонической
задачей
линейного
программирования называется задача, в которой требуется
найти максимум целевой функции при ограничениях,
заданных системой линейных уравнений.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

41.

Приведение ЗЛП к канонической форме
• В большинстве задач линейного программирования ограничения
задаются не в виде системы уравнений, а в виде системы линейных
неравенств.
• Любую систему ограничений можно свести к системе уравнений:
• к левой части каждого неравенства прибавить, если левая часть
меньше или равна (меньше) правой
• или отнять, если левая часть больше или равна (больше) правой,
• некоторое неотрицательное число - добавочную переменную, чтобы
каждое неравенство превратилось в уравнение.
• Эти действия называются сведением задачи линейного
программирования к канонической форме.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

42.

Пример 1
Записать систему неравенств в виде уравнений для приведения задачи
линейного программирования к канонической.
Решение. Прибавляя к левым частям неравенств
дополнительной переменной, получим систему уравнений:
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ
по
одной

43.

Теорема 1.
Множество
всех
допустимых
решений
системы
ограничений задачи линейного программирования является
выпуклым.
Множество
решений
задачи
линейного
программирования определяется совокупностью линейных
ограничений, поэтому такое множество геометрически
представляет
собой
выпуклый
многогранник
или
неограниченную многогранную область, за исключением тех
случаев, когда система ограничений несовместна.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

44.

Теорема 2.
Если существует, и при том единственное, оптимальное решение
задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из
угловых точек множества допустимых решений.
• Эта теорема позволяет сделать вывод, что поиски оптимального
решения можно ограничить перебором конечного числа угловых
точек.
• Однако для отыскания угловых точек требуется построение области
решений системы ограничений. Это построение возможно только для
двух- или трёхмерного пространства, а в общем случае задача
остаётся неразрешимой.
• Следовательно, нужно располагать каким-то аналитическим методом,
позволяющим находить координаты угловых точек. Для этого
понадобятся следующие две теоремы.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

45.

Основные теоремы линейного программирования
• Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи
линейного программирования соответствует угловая точка
области допустимых решений системы ограничений.
• Теорема 4 (обратная). Каждой угловой точке множества
допустимых решений системы ограничений соответствует
допустимое базисное решение.
• Следствие. Если существует, и при том единственное,
оптимальное решение задачи линейного программирования, то
оно совпадает с одним из допустимых базисных решений
системы ограничений.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

46.

Графический метод ЗЛП
Графический метод характеризуется простотой и наглядностью,
однако он недостаточно точен и применим только для задач с не
более чем тремя переменными.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

47.

Алгоритм решения ЗЛП графическим методом
1. Построить многоугольник решений системы неравенств (ОДР).
2. Найти
градиент целевой
функции. Его компонентами
являются
частные
производные
целевой
функции
по
соответствующим координатам, которые по своему смыслу
представляют собой скорости возрастания функции F вдоль
осей OХ1 и OХ2 соответственно. Этот вектор показывает
направление наискорейшего возрастания целевой функции.
3. Найти линию уровня. Выберем произвольное значение целевой
функции F=F0. Получим уравнение прямой F0=c1x1+c2x2 в
системе координат. Эту прямую также называют линией уровня
целевой функции, то есть линией постоянного значения. Линии
уровня перпендикулярны градиенту.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

48.

Алгоритм решения ЗЛП графическим методом
4. Передвинуть линию уровня функции F параллельно самой
себе в направлении вектора-градиента в случае задачи на
максимум (и в противоположном направлении - в случае
задачи на минимум) до тех пор, пока она не покинет
область допустимых решений. Предельная точка (или
точки) области являются оптимальными точками.
5. Для нахождения координат оптимальной точки, надо
решить систему уравнений, которая соответствует
прямым, пересечение которых образует эту точку.
Значение целевой функции в этой точке будет
оптимальным, а сами координаты точки будут являться
решением задачи ЛП.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

49.

Пример 2
Решить
графическим
методом
задачу
линейного
программирования, в которой требуется найти максимум
целевой функции при ограничениях:
max
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

50.

Шаг 1. Строим ОДР
Построим многоугольник решений. Для этого начертим
граничные прямые.
Из первого неравенства запишем уравнение Х1 +4Х2 = 4.
Это уравнение первой граничной прямой.
Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат:
При Х1 = 4 из уравнения получим Х2 =0, при Х1 = 0
получим Х2=1.
Это значит, что первая прямая отсекает от осей координат
отрезки Х1 = 4 и Х2=1.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

51.

Шаг 1. Строим ОДР
• Аналогично строим остальные граничные прямые. Вторая
прямая от осей координат отсекает отрезки, равные 6.
Третья прямая проходит параллельно оси ОХ2 , отсекая на
оси ОХ1
отрезок, равный 2. Четвёртая прямая имеет
уравнение ОХ2=0. Она совпадает с осью .
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

52.

Шаг 2. Найдем градиент
• Найдем частные производные от целевой
функции по Х2 и Х1 соответственно и
составим координаты: grad(1;3)
• Построим градиент (бордовая линия). Он
всегда исходит из начала координат.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

53.

Шаг 3. Найдем линию уровня
• Приравняем целевую функцию к
константе и построим прямую,
описываемую этим уравнением.
• Линия
уровня
всегда
перпендикулярна
градиенту
и
проходит через начало координат.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

54.

Шаг 4. Найдем предельную точку
• Передвигаем линию уровня
целевой
функции параллельно самой себе в
направлении вектора-градиента в случае
задачи
на
максимум
(и
в
противоположном направлении - в
случае задачи на минимум) до тех пор,
пока она не покинет область допустимых
решений. (красная линия)
• Наш случай – максимум.
• Предельная точка (или точки) области
являются оптимальными точками.
• Наш случай - точка B.
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

55.

Шаг 5. Найдем координаты предельной точки
• Для
нахождения
координат
оптимальной (предельной) точки, надо
решить систему уравнений, которая
соответствует прямым, пересечение
которых образует эту точку.
• Точка B имеет координаты В(2,4)
• Значение целевой функции в этой точке
будет оптимальным, а сами координаты
точки будут являться решением задачи
ЛП.
• Тогда max F(х1,х2)= 2+3*4= 14
07.02.2024
Лекция 1 ЭМММ

56.

Задание для самостоятельного выполнения
Привести ЗЛП к канонической форме.
F 3 x1 4 x2 min
x1 2 x2 10,
3 x 2 x 8,
1
2
2 x1 x2 9,
2 x1 2 x2 11,
x1 0, x2 0.
07.02.2024
F 10 x1 14
F x 23
x112
4xx32 min
2 x1 4 x2 5 x3 120,
x 8 x 6 x 280,
1
2
3
7 x1 4 x2 5 x3 240,
4 x1 6 x2 7 x3 360.
x1 0, x2 0, x3 0.
Лекция 1 ЭМММ