Степени. История возникновения степени числа

1.

Тема: «Степени»
Выполнила студент группы
ПОМ-ИНФ-21-21
Набиева Азалия

2.

История возникновения степени числа
Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке
арифметических действий. У математиков не сразу сложилось
представление о возведении в степень как о самостоятельной операции,
хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и
Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.
В своей знаменитой «Арифметике» греческий учёный Диофант
описывает первые натуральные степени чисел так: «Все числа…
состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они
продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся:
квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на
себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы,
получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадратоквадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадратокубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее
кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

3.

Немецкие математики Средневековья стремились ввести
единое обозначение и сократить число символов. Книга
Михеля Штифеля «Полная арифметика» сыграла в этом
значительную роль.
Но математики продолжали искать более простую
систему обозначений степени, так как её обозначения
были не удобны.
Француз, бакалавр медицины Никола Шюке смело ввёл в
свою символику не только нулевой, но и отрицательный
показатель степени. Он писал его мелким шрифтом
сверху и справа от коэффициента.
Современные определения и обозначения степени с
нулевым, отрицательным и дробным показателями берут
начало от работ английских математиков Джона
Валлиса и Исаака Ньютона.

4.

Определение степени
Степенью числа a с показателем n , большим 1,
называется произведение n множителей, каждый из
которых равен а .

5.

Свойства степени
• Степенью числа а с показателем 1 называется само число а .
• Любое число в нулевой степени равно единице.
• При делении степеней с одинаковыми основаниями основание
оставляют прежним, а из показателя степени делимого
вычитают показатель степени делителя.
• При умножении степеней с одинаковыми основаниями
основания оставляют прежним, а показатели степеней
складывают.

6.

• При возведении в степень произведения возводят в эту степень
каждый множитель и результат перемножают.
• При возведении в степень дроби возводят в эту степень
числитель и знаменатель и результат делят.
• Когда возводим степень в степень, то основание степени
остается неизмененным, а показатели степеней умножаются
друг на друга.

7.

Степень с отрицательным показателем
Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является
единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:
Действия с отрицательными степенями
• Умножение отрицательных степеней

8.

• Деление отрицательных степеней
• Возведение дроби в отрицательную степень
• Возведение произведения в отрицательную степень

9.

Степень с рациональным показателем
Рациональный показатель – это выражение вида p/q, где p-некоторое
целое число, а q – натуральное число, причем q≥2. Определение
Положительное число a в степени p/q является арифметическим корнем
степени q из числа a в степени p:
Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень и потом возвести в
степень, или возвести в степень, а потом уже извлечь корень, от этого
смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте. Рассмотрим
несколько примеров:

10.

Свойства степени с рациональным
показателем
Пусть a и b – некоторые положительные числа, а числа m/n и c/d –
рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:
При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым
основанием их показатели складываются.
При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым
основанием их показатели вычитаются.

11.

При возведении степени с рациональным показателем в степень с
рациональным показателем их показатели перемножаются.
Степень с рациональным показателем от произведения двух
положительных чисел равна произведению степеней этих
множителей.
Степень с рациональным показателем от частного двух
положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

12.

Степень с иррациональным показателем
Степень с иррациональным показателем – это степень,
показатель которой бесконечная десятичная дробь или корень.
– это степень, показатель которой бесконечная десятичная дробь
или корень.

13.

Пример решения задачи:
В числителе применим правило произведения степеней с
одинаковыми основаниями.
При произведении степеней с
одинаковыми основаниями, основание переписываем,
а показатели складываем:
При делении степеней с
одинаковыми основаниями, основание переписываем,
а показатели вычитаем:

14.

Задачи для самостоятельной работы
5
•4 =
−3
•7 =
7
4
•4 ± 4 =
2
• 4×6 =
5 6
12
=
275
• 6
9
=
306
• 4 5=
3 ×10
1
1
• −8 × 6 =
5
5
1256
• 8
25
=

15.

Таблица степеней чисел от 1 до 10

16.

Подведем итоги:
Изучили определения и свойства
степеней
Рассмотрели примеры решения
задач
Составили задачи для
самостоятельной работы

17.

Список литературы:
• Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных
учреждений. В 2 частях / А.Г. Мордкович и др.; по ред.
А.Г.Мордковича — М.: Мнемозина (2019 — 2021).
(https://7класс.рф/algebra-7-mordkovich-uchebnik-2019/ )
• Алгебра. 8 класс. учебник для общеобразовательных
организаций Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С.
Б. Суворова - Просвещение, 20132022г.(https://file.11klasov.net/1376-algebra-8-klass-uchebnikmakarychev-yun-i-dr.html)
• ОГЭ. Математика. Новый полный справочник - Мерзляк А.Г.,
Полонский В.Б., Якир М.С.(https://file.11klasov.net/3715-ogematematika-novyy-polnyy-spravochnik-merzlyak-ag-polonskiy-vbyakir-ms.html) .