Многокритериальные задачи принятия решения. Понятие

1. Многокритериальные задачи принятия решения. Понятие

2. Следует повторить

Общая постановка ЗПР
Понятие отображения
Отношение порядка
Графический метод решения ЗЛП

3. Входной контроль

1. Общая постановка задачи критериального
выбора
2. Графическая интерпретация элементов задачи
линейного программирования
3. Задано множество альтернатив: X={a=1,b=3}.
Какая их двух альтернатив предпочтительнее
• по позитивному критерию f(x)=2*x?
• По двум позитивным критериям f1(x)=2*x и f2=3*x?

4. Самопроверка

f ( x ) max
x X
f x 2 x 1 3 x 2 max
x R2 :
2
x
x
10
2
1
X 2 x 1 3 x 2 6
2 x 4 x 8
2
1
x 1 , x 2 0

5. План лекции

Понятие о многокритериальной задаче.
Источники и проблемы многокритериальности.
Множество целей
Множество объектов
Постановка многокритериальной ЗПР.
Примеры многокритериальных ЗПР. Роль ЛПР.
Основные понятия многокритериальной оптимизации
– Частный (скалярный) критерий, векторный критерий
– Позитивный, негативный критерий
– Идеальное и компромиссное решение
– Достижимые векторные оценки
– Сравнимые и несравнимые альтернативы
• Резюме

6. Понятие о многокритериальной задаче

Если альтернативы оцениваются по нескольким критериям,
то такая ЗПР называется многокритериальной ЗПР
(задачей векторной оптимизации)
Источники и проблемы многокритериальности
Источники: В экономических задачах основными критериями служат
эффективность и стоимость, при этом каждый из критериев, в свою очередь,
может быть подразделен на более частные критерии.
В технических: максимизация надежности при минимизации затрат на
производство
Проблемы:
•В многокритериальных задачах строгого порядка нет (В
однокритериальных задачах целевая функция позволяет ранжировать
альтернативы : чем больше значение целевой функции на альтернативе,
тем она предпочтительнее ).
•Конфликт критериев (нет идеального решения)
•…

7. Множество целей

Задачи оптимизации на множестве целей, каждая из
которых должна быть учтена при выборе оптимального
решения.
Пример - составление плана работы предприятия, в
которой критериями служит ряд экономических
показателей
Множество объектов
Пример: распределение дефицитного ресурса между
несколькими предприятиями.
Для каждого предприятия критерием оптимальности
является:
• степень удовлетворения потребности в ресурсах
• величина прибыли
Для планирующего органа критерием выступает:
• вектор локальных приоритетов предприятий;

8.

Постановка многокритериальных ЗПР
Пусть Х – произвольное множество, а f1, …,fm – числовые функции
(целевые функции, критерии), заданные на множестве X.
Требуется найти оптимальное решение из множества X,
максимизирующее функции на множестве X:
f ( x ) (f1( x ),..., fm ( x )) max
x X
n
Здесь f(x) –- m-вектор-функция аргумента x X, X R.
Элементы x отражают возможные варианты принятия решения,
эффективность которых оценивается по m различным показателям,
имеющим математическое выражение в виде f1( x ),..., fm .( x )
Ограничение x X отражает технические, технологические, ресурсные,
институциональные и иные возможности реализации тех или иных
значений x . Кроме того, часть ограничений может формироваться на
основе имеющейся априорной информации, позволяющей исключить из
рассмотрения заведомо неудачные варианты xi .
Критерий называется позитивным, если ЛПР стремится к его
увеличению, и негативным, если ЛПР стремится к его уменьшению.

9. Пример многокритериальной задачи

Векторная целевая функция f(x) и 4
ограничения :
f1 210 x 1 480 x 2 600 x 3
f ( x )
extr
f2 x1 x 2 x 3
10 x 1 23 x 2 26 x 3 400,
5 x 1 13 x 2 22 x 3 500,
7 x 9 x 11x 400,
2
3
1
x 1, x 2 , x 3 0.

10.

f1 x 2 x 1 3 x 2
f x
max
f2 x 4 x 1 x 2
x R2 :
2
x
x
10
2
1
X 2 x 1 3 x 2 6
2 x 4 x 8
2
1
x 1 , x 2 0

11. Основные понятия

– Частный (скалярный) критерий f1, , векторный
критерий
f1( x )
f ( x ) ...
f (x)
m
– Позитивный fi ( x ) max , негативный fi ( x ) min
критерий
– Идеальное и компромиссное решение
– Множество векторных оценок многокритериальной
ЗМР. Критериальное пространство и достижимые
векторные оценки.
– Сравнимые и несравнимые альтернативы.

12.

Идеальное решение
f1 x1 10 x 2
f (x )
extr
f2 x 1 10 x 2
X x 1 x 2 1, x 1 , x 2 0,
f1max f1 0,1 10, argmax f1 0,1
X
X
f2 max f2 0,1 10, argmax f2 0,1
Рис. Идеальная точка (0,1)
X
Если функции f1,…,fm достигают максимума в одной
*
x
X
и той же точке
arg max fi x x , i 1, m
*
x X
то говорят, что задача (1) имеет идеальное решение
x* X

13.

В случае отсутствия «идеального решения» в
задаче (1) ищется компромиссное решение
Компромиссное решение
f1 x 1 10 x 2
f (x )
extr
f2 10 x 1 x 2
X x 1 x 2 1, x 1 , x 2 0,
X
Рис. Компромиссное решение
f1max f1 0,1 10, argmax f1 0,1
X
f2 max f2 1,0 10, argmax f2 1,0
X

14.

Идеальное решение
f1 x1 10 x 2
f (x )
extr
f2 x 1 10 x 2
X x 1 x 2 1, x 1 , x 2 0,
X
Рис. Идеальная точка (0,1)
f1max f1 0,1 10, argmax f1 0,1
X
f2 max f2 0,1 10, argmax f2 0,1
X
Компромиссное решение
f1 x 1 10 x 2
f (x )
extr
f2 10 x 1 x 2
X x 1 x 2 1, x 1 , x 2 0,
X
Рис. Компромиссное решение
f1max f1 0,1 10, argmax f1 0,1
X
f2 max f2 1,0 10, argmax f2 1,0
X

15.

Множество достижимых целей
max f1 x x1 2 x 2
max f2 x 2 x1 x 2
x1 x 2 1
x , x 0
1 2
(*1)
(*2)
•альтернативе (0,0) соответствует точка (0,0) в пространстве критериев
(векторная оценка (0;0));
•альтернативе (0,1) соответствует точка (2,1) в пространстве критериев
(векторная оценка (2;1));
•альтернативе (1,0) соответствует точка (1,2) в пространстве критериев
(векторная оценка (1,2)).

16. Сравнимые и несравнимые альтернативы

x1 X
x X
2
X
f1 x
f2 x
Сравнимы, если
f x , i 1, m
fi x
1
i
x1
x2
x3
2
4
3
5
1
6
2 И3
2
M2 и М1

17.

18. Резюме

Постановка многокритериальных ЗПР
Критерий
1. Скалярный
• Векторный
• Позитивный
• Негативный
1. Решение многокритериальной задачи
• Идеальное
• Компромиссное
2. Пространство альтернатив
3. Пространство векторных оценок (критериальное пространство)
4. Векторная оценка альтернативы
5. Множество векторных оценок
6. Альтернативы
• Сравнимые
• Несравнимые
• Доминирующие
• Доминируемые