Тела вращения. Цилиндр. Конус

1.

Занятие 66. Тела вращения.
Цилиндр. Конус.

2.

3.

Цилиндрическая поверхность.
Если в одной из двух
параллельных
плоскостей взять
окружность,
и из каждой ее точки
провести перпендикуляр
до пересечения со
второй плоскостью, то
получится тело, ограниченное двумя
кругами и поверхностью, образованной
из перпендикуляров.
Это тело называется цилиндром.

4.

Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при
вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси.
Радиусом цилиндра наз.
радиус его основания.
ОА и О1А1 – радиусы
О
А
О1
А1
Высотой цилиндра
называется расстояние
между плоскостями
оснований. Высота всегда
равна образующей
ОО1 – высота, ось симметрии
АА1 – образующая

5.

Цилиндры бывают прямыми и наклонными в
зависимости от того перпендикулярны или
наклонны плоскости оснований к образующим.
В основаниях могут лежать различные фигуры.

6.

Поверхность цилиндра
верхнее
основание
боковая
поверхность
нижнее
основание

7.

Развертка цилиндра
верхнее
основание
r
боковая
поверхность
C=2πr
нижнее
основание
r
h

8.

Площадь
поверхности
цилиндра
r
2
S 2
π
rh
2
π
r
Объем
цилиндра
2
V πr h
h
r

9.

Прямая, соединяющая центры оснований цилиндра,
называется осью цилиндра.
Сечение цилиндра, проходящее через ось, называется
осевым сечением.

10.

Любое сечение боковой поверхности цилиндра
плоскостью, перпендикулярной оси – это круг, равный
основанию.

11.

Конус – это фигура, полученная
вращением прямоугольного
треугольника АВС вокруг катета АВ

12.

Круговым конусом называется тело ограниченное кругом
– основанием конуса, и конической поверхностью,
образованной отрезками, соединяющими точку, вершину
конуса, со всеми точками окружности, ограничивающей
основание конуса.

13.

Элементы конуса.
Отрезки (или их длины), соединяющие
вершину конуса с точками окружности
основания, называются образующими
конуса.
Все образующие прямого кругового
конуса равны между собой.
Поверхность
конуса
состоит
из
основания конуса (круга) и боковой
поверхности (составленной из всех
возможных образующих).
Объединение образующих конуса
называется образующей (или
боковой) поверхностью конуса.

14.

Прямой круговой конус.
Круговой конус
называется прямым,
если его высота
попадает в центр
круга.

15.

Все образующие конуса равны между собой и составляют
один угол с основанием.
SOA
SOB
SA
SB
l
SAO
SB

16.

• Конус можно получить,
вращая прямоугольный
треугольник вокруг
одного из катетов. При
этом осью вращения
будет прямая,
содержащая высоту
конуса. Эта прямая так
и называется – осью
конуса.

17.

Сечения конуса.
• Если через
вершину конуса
провести
плоскость,
пересекающую
основание, то в
сечении
получится
равнобедренный
треугольник.

18.

Сечения конуса.
• Сечение конуса,
проходящее через ось,
называется осевым.
В основании осевого
сечения лежит
диаметр –
максимальная хорда,
поэтому угол при
вершине осевого
сечения – это
SKL
осево
сеч
максимальный угол
KL
2
Rдиам
между образующими
KSL
2
угол
при
конуса. (Угол при
вершине конуса).
вершине
конус
.

19.

Сечения конуса.
• Любое сечение
конуса
плоскостью,
параллельной
основанию, - это
круг.

20.

Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна
половине произведения длины окружности основания на
образующую.
S= π r l
Площадь полной
поверхности конусасумма площадей
боковой поверхности и
основания.
S= π r (l+r)

21.

Развертка конуса.
Развертка конуса – это
круговой сектор. Его
можно
рассматривать как
развертку боковой
поверхности
вписанной правильной
пирамиды, у которой
число боковых граней
бесконечно
увеличивается.

22.

Объем конуса.
Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади
основания на высоту.
1 2
V
R H
кон
.
3