Сфера и шар. Теорема

1.

Сфера и шар

2.

Сферой называется
поверхность, которая
состоит из всех точек
пространства,
находящихся на заданном
расстоянии от данной
точки.
Эта точка
называется центром, а
заданное расстояние –
радиусом сферы, или
шара
– тела, ограниченного
сферой. Шар состоит из
всех точек пространства,
находящихся на
расстоянии
не
более
заданного
от
данной
точки.

3.

Отрезок, соединяющий
центр шара с точкой на
его поверхности,
называется радиусом
шара. Отрезок,
соединяющий две точки
на поверхности шара и
проходящий через центр,
называется диаметром
шара, а концы этого
отрезка – диаметрально
противоположными
точками шара.

4.

?
Чему равно
расстояние между
диаметрально
противоположными
точками шара, если
известна
удаленность точки,
лежащей на
поверхности шара от
центра?
18

5.

Шар можно
рассматривать как
тело, полученное от
вращения полукруга
вокруг диаметра как
оси.

6.

?
Пусть известна
площадь
полукруга.
Найдите радиус
шара, который
получается
вращением этого
полукруга вокруг
диаметра.
4

7.

Теорема. Любое сечение шара плоскостью есть
круг. Перпендикуляр, опущенный из центра
шара на секущую плоскость, попадает в центр
этого круга.
Дано:
шар O, R
секущая плоскость
ОО1
Доказать:
сечение круг
О1 центр круга

8.

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольный треугольник,
вершинами которого являются центр шара,
основание перпендикуляра, опущенного из
центра на плоскость, и произвольная точка
сечения.
ОА
OO d
1
R OO AO
AO
2
2
1
1
R d AO
2
R
d2
AO1
2
2
AO1 const
2
1
2

9.

Следствие. Если известны радиус шара и
расстояние от центра шара до плоскости
сечения, то радиус сечения вычисляется по
теореме Пифагора.
О1 К 2 d 2 R2
2
R
O1 K
d2 r
r радиус сечения

10.

?
Пусть известны
диаметр шара и
расстояние от центра
шара до секущей
плоскости. Найдите
радиус круга,
получившегося
сечения.
10

11.

Чем меньше расстояние от центра шара до
плоскости, тем больше радиус сечения.
r2 R d
2
d1 OO1
d2 OO2
r1
r2
d1 d2

12.

?
В шаре радиуса пять
проведен диаметр и два
сечения,
перпендикулярных
этому диаметру. Одно из
сечений находится на
расстоянии три от
центра шара, а второе –
на таком же расстоянии
от ближайшего конца
диаметра. Отметьте то
сечение, радиус
которого больше.

13.

На сфере радиуса R взяты
Задача.
три точки, являющиеся
вершинами правильного
треугольника со стороной а.
На каком расстоянии от
центра сферы расположена
плоскость, проходящая через Дано:
сфера О,
эти три точки?
А, В, С точки на
R
сфере
АВ ВС АС а
Найти:
d O, ABC

14.

Решение:
Рассмотрим пирамиду с вершиной в центре
шара и основанием – данным треугольником.
ОН высота пирамиды
ОА ОВ ОС R
H центр
описанной

15.

Решение:
Найдем радиус описанной окружности, а затем
рассмотрим один из треугольников, образованных
радиусом, боковым ребром пирамиды и высотой,.
Найдем высоту по теореме Пифагора.
3
ВК
а
ВК высота в АВС,
2
2
2 3
r BK
a 3a
3
3
3
2
2
a2
a 3
2
R
d R
2
3
3
r радиус описанной окр.

16.

Наибольший радиус
сечения получается,
когда плоскость
проходит через центр
шара. Круг,
получаемый в этом
случае,
называется
большим кругом.
Большой круг делит
шар на два полушара.

17.

?
В шаре, радиус
которого известен,
проведены два
больших круга.
Какова длина их
общего отрезка?
12

18.

Плоскость и прямая,
касательные к сфере.
Плоскость, имеющая со
сферой только одну
общую точку,
называется
касательной
плоскостью.
Касательная плоскость
перпендикулярна
радиусу, проведенному
в точку касания.

19.

?
Пусть шар, радиус
которого известен, лежит
на горизонтальной
плоскости. В этой
плоскости через точку
касания и точку В
проведен отрезок, длина
которого известна. Чему
равно расстояние от
центра шара до
противоположного конца
отрезка?
6

20.

Прямая называется
касательной, если она
имеет со сферой
ровно одну общую
точку. Такая прямая
перпендикулярна
радиусу,
проведенному в
точку касания. Через
любую точку сферы
можно провести
бесчисленное
множество
касательных прямых.

21.

?
Дан шар, радиус
которого известен. Вне
шара взята точка, и
через нее проведена
касательная к шару.
Длина отрезка
касательной от точки
вне шара до точки
касания также известна.
На каком расстоянии от
центра шара
расположена внешняя
точка?
4

22.

Стороны треугольника 13см,
14см и 15см. Найти расстояние
от плоскости треугольника до
центра шара, касающегося
сторон треугольника. Радиус
шара равен 5 см.
Дано:
Задача.
АВ
15см АС
14см
ВС
Найти: d O,
13см
FDC

23.

Решение:
Сечение сферы, проходящее через точки
касания, - это вписанная в треугольник АВС
окружность.

24.

Решение:
Вычислим радиус окружности, вписанной в
треугольник.
S
c
p p a p b p
14
15
13
p
21
2
S 84
S r p
r
S
4
84

25.

Решение:
Зная радиус сечения и радиус шара, найдем
искомое расстояние.
Из ОО1 К :
R
r
2
2
d
dR
2
2
r
3
2
d O, ABC
3см

26.

?
Через точку на
сфере, радиус
которой задан,
проведен большой
круг и сечение,
пересекающее
плоскость
большого круга под
углом шестьдесят
градусов. Найдите
площадь сечения.
π

27.

Взаимное расположение двух шаров.
Если два шара или
сферы имеют только
одну общую точку, то
говорят, что они
касаются. Их общая
касательная плоскость
перпендикулярна
линии центров
(прямой, соединяющей
центры обоих шаров).

28.

Касание шаров
может быть
внутренним и
внешним.

29.

?
Расстояние между
центрами двух
касающихся шаров
равно пяти, а
радиус одного из
шаров равен трем.
Найдите те
значения, которые
может принимать
радиус второго
шара.
82

30.

Две сферы
пересекаются по
окружности.
Линия центров
перпендикулярна
плоскости этой
окружности и
проходит через ее
центр.

31.

?
Две сферы одного
радиуса, равного пят и,
пересекаются, а их
центры находятся на
расстоянии восьми.
Найдите
радиус
окружности,
по
которой сферы
пересекаются. Для
этого необходимо
рассмотреть сечение,
проходящее через
центры сфер.
3

32.

Вписанная и описанная сферы.
Сфера (шар)
называется
описанной около
многогранника,
если все
вершины
многогранника
лежат на сфере.

33.

?
Какой
четырехугольник
может лежать в
основании
пирамиды,
вписанной в сферу?

34.

Сфера называется
вписанной в
многогранник, в
частности, в
пирамиду, если
она касается всех
граней этого
многогранника
(пирамиды).

35.

В основании треугольной
пирамиды лежит равнобедренный
треугольник, основание и боковые
стороны известны. Все боковые
ребра пирамиды равны 13. Найти
радиусы описанного и вписанного
шаров.
Задача.
Дано: АВ 8
АС СВ 4
5
SA SB SC 13
Найти:
r вписанного шара
R описанного шара

36.

Решение:
I этап.
Нахождение радиуса вписанного шара.
1) Центр описанного шара
удаSлHен овтывссоетх
пирамиды
нан одинаковое
ве
рш
и
араспSстA
иро аянмиды
SиBе, раSвC
ное радиусу шара, и в
Нши нцтот
енртеругооплиьс
вер
частности,
наинкнаойАВокСо.ло
перпендикуляре
ко плоскости
Поэ
т
о
м
у
ня р
о
сн
о
ва
н
и
О
ц
е
н
т
осн ов а н и я эт
сржат
глоьншикаар
кж
олоегп
оиру
ти
еннуннос
гоаоти
,а
окружности.
данном
случае
ко
тНоры йВАво
сСста
новS
О
В
и
O
S
H
этот
перпе
нд
ик
ул
яр
л
ен
из
центра
H
FDC
совпадает
с
высотой
описанной
пирамиды, поскольку ее боковые
ребра равны.

37.

Решение:
2) Вычислим радиус описанной около основания
окружности.
СК
4
5 42
2
8
Из АНК :
НК СК R1 8 R1
R1
5

38.

3) Найдем высоту пирамиды.
Решение:
SAH :
Из
SH
13 5
12
2
2

39.

Решение:
4) Радиус описанного шара найдем из
треугольника, образованного радиусом шара и
частью высоты, прилежащей к основанию
пирамиды.
Из АНО :
ОН 12 R
R2 52 12 R 2
R2 25 144
24R
R2
169
1
R
7
24
2
4

40.

Решение:
II этап.
Нахождение радиуса вписанного шара.
Соединим центр
впис ан н ог о ш ар
П и р ам и
даыс:о всеми
вершинами пирамиды,
тем самОыSмAмBы,
разделим ее на
неOскSоBльCко,
меньших
пирамид. В данном случае
их
четыOреS.AВCыс,оты
всех пирамиOд
оAдBинCаковы и

41.

Решение:
1) Найдем площадь каждой грани
пирамиды и ее полную поверхность.
S SBC
1
S ABC AB CK
2
32
1
BC SL 2 5 149
2
SSAC SSBC 2 5 149
S SAB
1
AB SK 4 153
2
Sполн 32 4 5 149 4 153

42.

Решение:
2) Вычислим объем пирамиды
и радиус вписанного шара.
SH 12
SABC
32
1
V SH S ABC
3
128
r
3
Sполн 8 745 96
V
Rопис
1
7
2
4
r
153
96
8
745
153

43.

Второй способ
вычисления радиуса
вписанной сферы
основан на том, что
центр шара,
вписанного в
двугранный угол,
равноудален от его
сторон, и,
следовательно,
лежит на
биссекторной
плоскости.

44.

Сторона основания правильной
Задача.
четырехугольной пирамиды
равна 6, а угол между основанием
и боковой гранью равен 600.
Определить радиус вписанной
сферы.
Дано: SABCD правильная
четырехугольная
пирамида
0
АВ
ВС 60
6
Найти:
r вписанного шара

45.

Решение:
Проведем сечение через вершину пирамиды и
середины двух противоположных сторон
• Отрезок, соединяющий
основания.
центр сферы с серединой
стороны основания,
делит пополам
двугранный угол при
основании.
LKS 600
LK AB
6; биссектриса LKS
OK
HKO 30
0

46.

Решение:
Рассмотрим треугольник, полученный в
сечении, и найдем искомый радиус из
тригонометрических соотношений.
1
НК LK 3
2
Из ОНК :
r HK tg30
3
Радиус вписанного шара
0
3