Вписанный угол

1. Вписанный угол

2.

Вписанный угол
Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности,
а стороны пересекают её, называется вписанным.
О
В
У
S
F
М
А
К
D
С
А
Н
В
Т
АВС - вписанный
С
Е
Р
Назови вписанный угол

3.

Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
B
a
A
a
2a
Дано: Окр.(О;r),
АВС – вписанный.
Доказать:
O
Проведём ОА. Тогда дуга АС меньше полуокружности.
АОС – центральный, значит АОС =
АС
АВО – равнобедренный, значит,
АОС – внешний угол
АВС, значит,
Следовательно, 2 a =
АВС = ½
АС.
Доказательство:
1 случай. Луч ВО совпадает с одной из сторон
угла АВС.ВС проходит через центр окружности.
C
Значит,
АВС = ½
АС.
АС
В=
А
АОС =
А+
В=2a

4.

Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
В
А
О
К
Дано: Окр.(О;r),
АВС – вписанный.
Доказать: АВС = ½ АС.
Доказательство:
2случай. Луч ВО делит угол АВС на два угла
Центр окружности лежит внутри угла АВС.
С Проведём луч ВО, который пересекает дугу АС в точке К.
АВС = АВК +
= ½ АС.
АВК и СВК – вписанные, сторона каждого
проходит через центр окружности.
СВК = ½
АК + ½
СК = ½ (
АК +
СК) =

5.

Вписанный угол
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
В
Дано: Окр.(О;r),
АВС - вписанный.
А
Доказать:
О
АВС = ½
АС.
Доказательство:
3 случай. Центр окружности лежит вне угла АВС.
С
К
Проведём луч ВО, который пересекает Oкр(О;r) в точке К.
АВК и СВК – вписанные, сторона каждого
проходит через центр окружности.
АВС = АВК = ½ АС.
СВК = ½
АК - ½
СК = ½ (
АК -
СК) =

6.

Реши задачи
Найти: х
1.
2.
3.
х
х
х
300
820
800
4.
х

7.

СЛЕДСТВИЕ 1:
ВПИСАННЫЕ УГЛЫ,
ОПИРАЮЩИЕСЯ НА ОДНУ И
ТУ ЖЕ ДУГУ, РАВНЫ
СЛЕДСТВИЕ 2:
ВПИСАННЫЙ УГОЛ,
ОПИРАЮЩИЙСЯ НА
ПОЛУОКРУЖНОСТЬ,
ПРЯМОЙ
О
О

8.

Свойство пересекающихся хорд
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды.
Дано: Окр.(О;r),
М – точка пересечения хорд АВ и СК.
В
К
М
Доказать: АМ
С
А
О
ВМ = СМ КМ.
Доказательство:
Проведём АК и ВС. Рассмотрим
А=
К=
АКМ и
С, как вписанные, опирающиеся на
В, как вписанные, опирающиеся на
Значит, АКМ и ВСМ подобны, следовательно,
сходственные стороны пропорциональны:
AM KM , а, значит,
АМ ВМ = СМ КМ.
CM BM
ВСМ.
ВК.
АС.