Похожие презентации:
Понятие первообразной. Вычисление определенного интеграла
1. Первообразная Интеграл
2. Содержание
Понятие первообразнойНеопределенный интеграл
Таблица первообразных
Три правила нахождения первообразных
Определенный интеграл
Вычисление определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции (1)
Площадь криволинейной трапеции (2)
Площадь криволинейной трапеции (3)
Площадь криволинейной трапеции (4)
Пример (1)
Пример (2)
3. Понятие первообразной
Функцию F(x) называют первообразной дляфункции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x ) f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.
4.
Примеры1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F (x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F (x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)
5. Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом от непрерывнойна интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
Где С – произвольная постоянная (const).
6.
Примеры1. Adx Ax C ; Ax C A
2. e dx e С;
x
x
x
4. x dx
С;
4
3
x
cos x C sin x
3. sin xdx cos x С ;
4
e C e
x
x
1
С 4x 3 x 3
4
4
1
5.
dx tg x C ;
2
cos x
4
tg x C
1
2
cos x
7. Таблица первообразных
F(x)x n 1
C
n 1
2x x
C
3
sin x C
cos x C
tgx C
ctgx C
F(x)
f(x)
x
a C
ax
lna
х
1
C
x
ln x
cos x
ex C
ex
f(x)
x
n
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
C
Cx
loga x C
1
x lna
arcsin x C
1
1 x2
8.
Три правила нахожденияпервообразных
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf(х).
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
1
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
F(kx + b)
k
есть первообразная для f(kx + b).
9. Определенный интеграл
bf x dx F x F b F a
b
a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл
равен
площади
криволинейной
трапеции,
образованной линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x),
и прямыми у = 0; х = а; х = b.
10. Вычисление определенного интеграла
3x 2 x 1 dx x x x2
2
3
2
2
1
1
23 22 2 13 12 1 6 1 5
10
3
2 x 6 x 6
x 6 dx
3
3
10
2 10 6 10 6 2 3 6 3 6 80
2
18 7
3
3
3
3
11. Физический смысл первообразной
12. Площадь криволинейной трапеции
yD
C
b
S ABCD f x dx
a
a
b
B
x=b
x=a
0
A
F b F a
y=0
x
13. Площадь криволинейной трапеции (1)
yB
b
y=0
x
b
S ABCD f x dx
D
C
x=b
a
x=a
0
A
a
F a F b
14.
yПлощадь криволинейной
трапеции (2)
D
C
S PMCD S ABCD S ABMP
P
0
Aa
M
b B
b
b
a
a
f x dx g x dx
f x g x dxx
b
a
15.
yПлощадь криволинейной
трапеции (3)
D
0
A
a
P
C
S PMCD S ABCD S ABMP
B
b
M
b
b
a
a
x
f x dx g x dx
b
f x g x dx
a
16. Пример 1:
вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
SВОС SABCD SABOCD
C
2
2
1
1
x 2 dx x 2 dx
B
A
-1
2
2
2
x
x
х 2 х 2 dx 2x
3 1
2
1
O
D
2
2
3
8 1
1
1
2 4 2 5 4,5
3 2
3
2
x
17.
yПлощадь криволинейной
трапеции (4)
SАЕDВ SAEDC SСDB
D
с
b
a
с
f x dx g x dx
Е
0
Aa
с
C
b
B
x
18.
вычислить площадь фигуры,Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
y
4
0
SАDВ SADС SСDB
D
A
2
4
C
8
B
x
19.
вычислить площадь фигуры,Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
3 4
x 2
x - 2 dx 2 8 - хdx
4
2
2
8
4
3
8
4 8 x 8 x
3
2
4
4 2 3 2 2 3 4 8 8 8 8 4 8 4 8 4
3
3
3
3
8 32 40
1
13
3 3
3
3