1.98M

Категория: $Математика$ Математика

Похожие презентации:

Понятие первообразной. Вычисление определенного интеграла

Неопределенный и определенный интеграл

Первообразная и интеграл

Первообразная. Интеграл

Первообразная и интеграл

Первообразная. Интеграл

Первообразная Интеграл

Определенный интеграл

Вычисление определенного интеграла

1.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2. Повторим…

ПОВТОРИМ…

3. Понятие первообразной

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ
Функцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x ) f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.

4.

ПРИМЕРЫ
1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F (x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F (x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)

5. Неопределенный интеграл

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Неопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
где С – произвольная постоянная (const).

6.

ПРИМЕРЫ
1. Adx Ax C ; Ax C A
x
x
x
x
2. e dx e С; e C e
cos x C
3. sin xdx cos x С ;
4
x
4. x dx
С;
4
3
sin x
x
1
3
3
С 4x x
4
4
1
5.
dx tg x C ;
2
cos x
4
tg x C
1
2
cos x

7. Таблица первообразных

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ
F(x)
x n 1
C
n 1
2x x
C
3
sin x C
cos x C
tgx C
ctgx C
f(x)
x
n
х
cos x
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
F(x)
f(x)
ax C
ax
lna
1
C
x
ln x
ex C
ex
C
Cx
loga x C
1
x lna
arcsinx C
1
1 x2

8.

ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ
ПЕРВООБРАЗНЫХ
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf(х).
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
1
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
F(kx + b)
k
есть первообразная для f(kx + b).

9.

ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

10. Определенный интеграл

b
f x dx F x
b
a
F b F a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл равен
площади криволинейной трапеции, образованной
линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x),
и прямыми у = 0; х = а; х = b.

11. Вычисление определенного интеграла

3x
2
1
2
2 x 1 dx x x x
3
2
2
1
2 2 2 1 1 1 6 1 5
10
3
3
2
3
2
2 x 6 x 6
x 6 dx
3
10
3
2 10 6 10 6 2 3 6 3 6 80
2
18 7
3
3
3
3

12. Пример 1:

вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
SВОС SABCD SABOCD
C
2
2
1
1
2
x
2
dx
x
dx
2
B
A
-1
2
x2
x3
2
х 2 х dx 2x
3 1
2
1
2
O
D
2
8 1
1
1
2 4 2 5 4,5
3 2
3
2
x