Полное исследование функции и построение графика (тема 12 и 13)

1.

Математика
Преподаватели:
Мовсисян Геворг Суренович,
Попова Ольга Николаевна

2.

Тема 12 и 13.
Полное исследование
функции и
построение графика

3.

План лекции
1. Односторонние пределы.
2. Точки разрыва.
3. Асимптоты.
4. Выпуклость функции.

4.

Непрерывность - одно из
основных свойств функций.
Решение о том, непрерывна
данная функция или нет,
позволяет судить о других
важных свойствах исследуемой
функции.

5.

Исследование функции на
непрерывность связанно с так
называемыми односторонними
пределами, т.е пределом слева и
справа.
Односторонние пределы
позволяют сделать вывод о
непрерывности функции.

6.

1. Односторонние пределы
Опр. Число А называется
пределом слева функции f (x )
в точке x x0 , если для
любой сходящейся к x0
последовательности n
таких что x x ,
x ,
n
0

7.

соответствующая
последовательность значений
функции f ( x ) сходится к А.
n
Обозначение:
lim f ( x) A
x x0 0

8.

Опр. Число А называется
пределом справа
функции f (x ) в точке
x x0 , если для любой
сходящейся к x0
последовательности n
таких что
n
0
x ,
x x ,

9.

соответствующая
последовательность значений
функции f ( x ) сходится к А.
n
Обозначение:
lim f ( x) A
x x0 0

10.

Частный случай.
В случае, когда x0 0
используют краткую запись
lim f ( x) A
x 0
lim f ( x) A
x 0

11.

Пример
Вычислить односторонние
пределы в точке x 3
функции
f ( x) 2
1
x 3

12.

2. Точки разрыва
x
Опр. Точка 0 называется
точкой разрыва функции
f (x ), если в этой точке
нарушается условие
непрерывности.
В этом случае говорят, что
функция терпит разрыв.

13.

Классификация точек
разрыва
1. Точка x0 называется
точкой разрыва первого
рода функции f (x ) , если в
этой точке односторонние
пределы конечны и не равны
между собой.

14.

15.

x
2. Точка
называется
0
точкой разрыва второго
рода функции f (x ) , если в
этой точке, по крайней мере,
один из односторонних
пределов равен бесконечности
или не существует.

16.

17.

x
3. Точка
называется
0
точкой устранимого
разрыва функции f (x ), если
в этой точке односторонние
пределы конечны и равны
между собой, но не равны
значению функции в этой
точке (функция м.б. не
определена).

18.

19.

Опр. Точки, в которых
функция неопределенна или
знаменатель обращается в
ноль называются
«подозрительными» точками
на разрыв.

20.

Пример.
Определить характер разрыва.
x 6x 8
a) f ( x)
;
x 1
2
x 4
b) f ( x )
;
x 2
2

21.

x , x 2
c) f ( x)
.
5
,
x
2
2

22.

3. Асимптоты
Опр. Асимптотой графика
функции f (x ) называется
прямая линия, обладающая
тем свойством, что расстояние
от переменной точки на
графике до прямой стремится
к нулю

23.

при неограниченном
движении этой точки по
графику к бесконечности.
Асимптоты могут
быть вертикальными, наклон
ными и горизонтальными.

24.

x a
Опр. Прямая
называется вертикальной
асимптотой графика функции
f (x ) , если выполнено хотя
бы одно из условий
lim f ( x) ;
x a 0
lim f ( x) .
x a 0

25.

Другими словами, хотя бы
один из односторонних
пределов в точке
должен быть равен
бесконечности.
Есть связь вертикальной
асимптоты и точек разрыва
второго рода.
x a

26.

Замечание!
Если функция f (x ) в точке
терпит разрыв второго
рода, то прямая
является вертикальной
асимптотой функции f (x ).
a
x a

27.

Опр. Прямая y kx b
называется наклонной
асимптотой графика функции
f (x ) , если
lim ( f ( x) y ) 0
x

28.

На практике, вычисление
наклонной асимптоты
y=kx+b
сводится к отысканию
коэффициентов k и b , которые
определяются с помощью
следующей теоремы.

29.

Теорема(Необходимое и
достаточное условие
существования наклонной
асимптоты).
Для того, что бы прямая
y=kx+b
была наклонной асимптотой
графика функции f (x )

30.

при x , необходимо и
достаточно, чтобы
существовали два конечных
предела
f ( x)
lim
k;
x
x
lim ( f ( x) kx) b.
x

31.

Опр. Наклонная асимптота
называется горизонтальной,
если k=0. Таким образом
уравнение наклонной
асимптоты имеет вид
y=b .

32.

4. Выпуклость функции
Опр. Говорят, что дифф.
функция f (x ) на промежутке
Х является выпуклой
(вогнутой), если её график
расположен ниже(выше)
касательной, проведённой в
любой точке данного
промежутка.

33.

34.

Понятие выпуклости связано
со второй производной.
Опр. Второй производной
функции f(x) называется
производная от первой
производной, то есть
f ( x) ( f ( x))

35.

Теорема(Достаточное условие
выпуклости).
Пусть функция f(x)
дифференцируема на
промежутке X, тогда:
а) если f ( x ) 0 для любого
x X , то функция вогнутая.

36.

b) если
f ( x ) 0 для любого
x X , то функция выпуклая.
Опр. Точки, в которых
меняется характер
выпуклости называются
точками перегиба.

37.

Теорема(Необходимое условие
существования точки
перегиба).
Пусть x0 точка перегиба и
пусть функция f(x)
дифференцируема в
окрестности этой точки, тогда
f ( x0 ) 0.

38.

Алгоритм полного
исследования функции
I. Найти область определения
функции;
II. Найти точки пересечения с
осями Ox и Oy;
III. Определить характер
разрыва;

39.

IV. Найти асимптоты;
V. Исследовать на
монотонность и экстремум;
VI. Исследовать на
выпуклость и вогнутость по
Теореме(достаточное условие
выпуклости).

40.

VII. Найти точку перегиба по
Теореме(необходимое условие
существования точки
перегиба);
VIII. Построить эскиз графика
функции.

41.

Пример.
Исследовать функцию.
x 3
.
f ( x)
x 1
2

42.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!