Лекция 4. Устойчивость

1. Лекция 4

Устойчивость.

2. Содержание

• Сходимость. Устойчивость.
Аппроксимация.
• Спектральный признак устойчивости.
• Устойчивость в энергетической норме.
• Устойчивость неявной схемы.
• Алгоритм исследования устойчивости.

3. Слагаемые адекватности

• Обусловленность
• Обусловленность модели должна быть не хуже
обусловленности исходного объекта.
• Погрешность
• Погрешность метода не должна вносить существенный
самостоятельный вклад в результат.
• Сходимость
• Процесс моделирования должен быть ограничен во
времени и стремиться к стабилизации характеристик.
• Устойчивость
• Малые возмущения в параметрах модели должны
приводить к адекватным изменениям характеристик.

4.

Сходимость
Наблюдение: Чтобы исследовать схему на сходимость
(напрямую),
необходимо
знать
точное
решение
дифференциальной задачи, а также иметь возможность
получить аналитическое решение разностной. Так как в
большинстве случаев, представляющих интерес, это
невозможно, используются косвенные методы исследования
схемы на сходимость.

5.

Аппроксимация

6.

Устойчивость

7.

Устойчивость

8. Содержание

• Сходимость. Устойчивость. Аппроксимация.
• Спектральный признак устойчивости.
• Устойчивость в энергетической норме.
• Устойчивость неявной схемы.
• Алгоритм исследования устойчивости.

9. Каноническая форма

• Каноническая форма двухслойной разностной схемы
B и A – операторы, действующие в Ωx
• Выполняется условие
• Явная схема

10. Пример разностной схемы

• Разностная схема для уравнения теплопроводности
– схема Кранка-Николсона

11. Некоторые определения

• Энергия оператора
• Норма вектора

12. Некоторые определения

13. Некоторые определения

Представим разностную схему в канонической форме в виде
- оператор послойного перехода разностной схемы

14. Спектральный признак устойчивости

15. Спектральный признак устойчивости

Разностная задача Коши для линейного уравнения переноса

16. Спектральный признак устойчивости

Условие устойчивости
или
Возьмем в качестве начального условия гармонику

17. Спектральный признак устойчивости

18. Спектральный признак устойчивости

Спектральный признак устойчивости для рассмотренной задачи:
спектр оператора перехода должен лежать в круге радиуса
на комплексной плоскости.

19. Задача

Подсказка: подставляем решение в виде

20. Содержание

• Сходимость. Устойчивость. Аппроксимация.
• Спектральный признак устойчивости.
• Устойчивость в энергетической норме.
• Устойчивость неявной схемы.
• Алгоритм исследования устойчивости.

21. Устойчивость

22. Схема Кранка-Николсона

23. Содержание

• Сходимость. Устойчивость. Аппроксимация.
• Спектральный признак устойчивости.
• Устойчивость в энергетической норме.
• Устойчивость неявной схемы.
• Алгоритм исследования устойчивости.

24. Неявная схема

Условие устойчивости:

25. Содержание

• Сходимость. Устойчивость. Аппроксимация.
• Спектральный признак устойчивости.
• Устойчивость в энергетической норме.
• Устойчивость неявной схемы.
• Алгоритм исследования устойчивости.

26. Исследование устойчивости

Порядок исследования устойчивости двухслойных разностных схем

27. Исследование устойчивости

т.е. из равномерной устойчивости однородной разностной
схемы следует устойчивость по начальным данным.

28. Исследование устойчивости

29. Исследование устойчивости

• Сходимость = устойчивость + аппроксимация
(теорема Лакса-Рябенького).
• Условие Куранта-Фридрихса-Леви (об областях
влияния).
• Спектральный признак устойчивости
(исследование спектра оператора перехода).
• Теоремы об устойчивости в энергетической
норме.
• Равномерная устойчивость => устойчивость по
начальным данным.