Правила приближенных вычислений. Погрешности

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ижевский государственный технический университет
имени М. Т. Калашникова»
Кафедра «АСОИУ»
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений.
Погрешности»
Автор Исенбаева Е.Н., старший преподаватель
Ижевск
2013

2. Абсолютная погрешность

Приближенное число а – это число,
незначительно отличающееся от точного
числа А и заменяющее последнее в
вычислениях.
Пишут А ≈ а.
Величина
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
2

3. Абсолютная погрешность

Знак ∆а не известен→тогда
целесообразнее пользоваться
абсолютной погрешностью
приближенного числа:
∆ = |∆а |= |А - а| (1)
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
3

4. Абсолютная погрешность

А неизвестно → вместо
неизвестной теоретической
абсолютной погрешности ∆ вводят
ее оценку сверху– предельную
абсолютную погрешность
– всякое число, не меньшее
абсолютной погрешности этого
числа
.
(2)
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
4

5. Краткая запись точного числа

Точное число А :
Для краткости:
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
5

6. Предельная абсолютная погрешность

Предельная абсолютная погрешностью
числа алюбой представитель бесконечного
множества неотрицательных чисел,
удовлетворяющих неравенству (2).
На практике используют меньшее,
возможное в данных обстоятельствах
число, удовлетворяющее (2).
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
6

7. Предельная абсолютная погрешность числа

В записи приближенного числа указывается его
предельная абсолютная погрешность:
длина отрезка l = 214см с точностью 0,5 см →
пишут l=
Точная величина отрезка l заключена:
Абсолютной погрешности недостаточно для
характеристики точности измерения или вычисления.
Пример: длина первого стержня: l1 = 100,8 см±0,1см,
длина второго стержня: l2 = 5,2 см±0,1 см,
Абсолютные погрешности совпадают, но качество
первого измерения выше.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
7

8. Относительная погрешность

Относительная погрешностьабсолютная погрешность,
приходящаяся на единицу длины.
(4)
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
8

9. Относительная погрешность

Предельная относительная
погрешность δа данного
приближенного числа а – это
всякое число, не меньшее
относительной погрешности этого
числа.
(5)
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
9

10. Относительная погрешность

но т.к.
,то за предельную
абсолютную погрешность числа можно принять:
(6)
Т.к. на практике А часто неизвестно, то вместо
(6) используем:
(7)
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
10

11. Относительная погрешность

Запись точного числа через
предельную относительную
погрешность:
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
11

12. Примеры

Вес 1 куб.дм воды при 0 градусов р = 999,847г 0,001г. Определить предельную относительную
погрешность результата взвешивания.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
12

13. Значащая цифра приближенного числа

Всякое положительное число a может быть записано в виде конечной
или бесконечной десятичной дроби:
Пример: 325,14 = 3*102+2*101+5*100+1*10-1+4*10-2.
Значащая цифра приближенного числа- это всякая цифра в его десятичном
изображении, отличная от нуля, и ноль, если он содержится между значащими
цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.
Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для
обозначения его десятичных разрядов, не приписываются к значащим цифрам.
•Пример: 0,004090( первые три нуля- незначащие; значащие- 4,0,9,0).
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
13

14. Верная цифра приближенного числа

Первые n- цифр приближенного числа являются верными, если
абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы
разряда, выражаемого n значащей цифрой, считая слева направо.
Для приближенного числа а (1), заменяющего точное число А, известно,
что
∆=|А-а|
→по определению первые n цифр- верные, m- старший разряд.
Пример: Найти верные значащие цифры в числе а, если А=35,97; а=36,00.
1 способ( по определению):
m=1
|А-а|=0,03=0,03<0,05 → 4 значащие цифры, из них только 3 цифрыверные, n=3.
2 способ( применяется, если цифра, отличная от нуля в абсолютной
погрешности, больше 5):
Количество верных цифр отсчитывается от первой значащей цифры числа
до первой значащей цифры его абсолютной погрешности.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
14

15. Сложение и вычитание приближенных чисел

Способы расчета абсолютной погрешности алгебраической
суммы
1.
Классическое правило.
Абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей
слагаемых.
2.
Правило Чеботарева.
3.
где n-количество слагаемых
Если среди слагаемых имеется одно число, абсолютная погрешность
которого значительно превосходит абсолютные погрешности остальных
слагаемых, то абсолютная погрешность суммы считается равной этой
наибольшей погрешности. При этом в сумме целесообразно сохранять
столько десятичных знаков, сколько их в слагаемом с наибольшей
абсолютной погрешностью.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
15

16. Относительная погрешность суммы

Относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же
знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных
погрешностей слагаемых:
Относительная погрешность разности двух положительных чисел
больше относительной погрешности этих чисел, особенно, если эти числа
близки между собой( то есть, если их разность мала по сравнению с
самими этими числами).
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
16

17. Примеры

1. Найти абсолютную и относительную погрешность измерения периметра
треугольника, если его стороны а=17.3см,в=23.6см,с=14.2см замерены с точностью
0.1см.
2. Вычислить разность у=х1-х2, абсолютную погрешность у, если
х1=0,01234, х2=0,01231,
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
17

18. Умножение и деление приближенных чисел

Порядок расчета погрешностей произведения
r=(a1*a2*…am)/ (b1*b2*…bn)
(1)
1. Классическое правило расчета относительной погрешности
∂r=∂a1+∂a2+…+∂am+∂b1+∂b2+…∂bn
(2)
2. Статистическая оценка относительной погрешности
∂r=√3*(n+m) * ∂,
(n+m)>10
(3)
3. Если у одного из чисел относительная погрешность
значительно превышает относительные погрешности остальных
чисел, то относительная погрешность(1) считается равной этой
погрешности. При этом в результате следует сохранять столько
значащих цифр, сколько их в числе с наибольшей относительной
погрешностью.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
18

19. Пример

Вычислить выражение, считая, что все числа даны с верными знаками, то
есть их абсолютные погрешности не превышают половины единицы
младшего оставленного разряда:
r=(3,2*356,7*0,04811) / (7,1948*34,56).
Решение:
Наибольшую относительную погрешность имеет а=3,2, которое содержит
всего 2 верных знака: ∂a= 0.05/ 3.2= 1.6% →
относительная погрешность результата ∂r= ∂a= 1.6% (не более двух верных
знаков).
Округляем все числа до трех верных знаков, сохраняя один запасной знак:
r=(3,2*357*0,0481) / (7,19*34,6)=0,221.
Абсолютная погрешность результата:
Δ=r* ∂r=0.221*0.016=0.0036
Округляем результат до верных знаков, отбрасывая запасной знак:
r=0.22± 0.004
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
19

20. Принцип Крылова работы с приближенными числами

1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных
знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом
десятичных знаков.
2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр,
сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих
цифр.
3. При возведении приближенного числа в квадрат или куб в результате
сохраняют столько значащих цифр, сколько их в основании степени.
4. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков или больше
значащих цифр, чем другие, то их предварительно округляют, сохраняя
лишь одну «запасную» цифру.
5. Результаты промежуточных вычислений должны иметь один-два запасных
знака, которые затем должны быть отброшены.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
20

21. Округление чисел

Округление чисел – это замена некоторого
приближенного или точного числа
числом
с меньшим количеством значащих цифр.
Число
выбирают таким образом, чтобы
погрешность округления
была минимальной.
Правила округления (по дополнению): чтобы
округлить число до значащих цифр, отбрасываются все
его цифры стоящие справа от n-ой значащей цифры,
или, если это нужно для сохранения разрядов,
заменяют их нулями.
Если при округлении числа отбрасывается меньше
половины единицы последнего сохраняемого разряда,
то цифры всех сохраненных разрядов остаются
неизменными.
Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
21

22. Пример

Курс «Вычислительная математика»
Тема «Правила приближенных вычислений. Погрешности»
22

23.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
© ФГБОУ ВПО ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, 2013
© Исенбаева Елена Насимьяновна, 2013