Этапы моделирования. Математическая постановка задачи

1.

Этапы моделирования

2.

3.

ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
тщательное обследование собственно объекта моделирования с целью выявления
основных факторов, механизмов, влияющих на его поведение, определения
соответствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект;
сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах,
проведение при необходимости дополнительных экспериментов;
аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой
построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому
объекту);
анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана
создания математической модели.
Пример. Содержательная постановка задачи о
математическую модель, позволяющую описать
брошенного игроком в баскетбольную корзину.
баскетболисте. Разработать
полет баскетбольного мяча,
Модель должна позволять:
вычислять положение мяча в любой момент времени;
определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных
параметрах.
Исходные данные:
масса и радиус мяча;
начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;
координаты центра и радиус корзины.

4.

КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Концептуальная постановка задачи моделирования — это сформулированный в
терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень
основных интересующих вопросов, а также совокупность гипотез относительно
свойств и поведения объекта моделирования.
Пример. Концептуальная постановка задачи о баскетболисте.
Движение баскетбольного мяча может быть описано в соответствии с законами
классической механики Ньютона (рис. 2.2).

5.

Примем следующие гипотезы:
объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса ;
мяч будем считать материальной точкой массой , положение
которой совпадает с центром масс мяча;
движение происходит в поле сил тяжести с постоянным
ускорением свободного падения и описывается уравнениями
классической механики Ньютона;
движение
мяча
происходит
в
одной
плоскости,
перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через
точку броска и центр корзины;
пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями,
вызванными собственным вращением мяча вокруг центра
масс.

6.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Математическая постановка задачи моделирования — это
совокупность
математических
соотношений,
описывающих
поведение и свойства объекта моделирования.
Пусть оператор модели в случае, если он представлен системой
алгебраических уравнений. Подобные модели можно назвать
моделями аппроксимационного типа, так как для их получения часто
используют различные методы
аппроксимации имеющихся
экспериментальных данных о поведении выходных параметров
объекта моделирования в зависимости от входных параметров и
воздействий внешней среды, а также от значений внутренних
параметров объекта.
Во многих областях знаний (механике, физике, биологии и т.д.)
принято выделять законы, справедливые для всех объектов
исследования
данной
области
знаний,
и
соотношения,
описывающие поведение отдельных объектов или их совокупностей.

7.

Можно выделить несколько наиболее распространенных типов задач
для систем обыкновенных дифференциальных уравнений или
дифференциальных уравнений в частных производных:
задача Коши, или задача с начальными условиями, в которой по
заданным в начальный момент времени переменным (начальным
условиям) определяются значения этих искомых переменных для
любого момента времени;
начально-граничная, или краевая, задача, когда условия на искомую
функцию выходного параметра задаются в начальный момент
времени для всей пространственной области и на границе последней
в каждый момент времени (на исследуемом интервале);
задачи на собственные значения, в формулировку которых входят
неопределенные параметры, определяемые из условия качественного
изменения поведения системы (например, потеря устойчивости
состояния равновесия или стационарного движения, появление
периодического режима, резонанс и т.д.).

8.

Контроль правильности полученной
системы математических соотношений
Контроль размерностей, включающий правило, согласно которому
приравниваться и складываться могут только величины одинаковой
размерности.
Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнительных
порядков складываемых величин и исключением малозначимых
параметров.
Контроль характера зависимостей.
Контроль экстремальных ситуаций.
Контроль граничных условий.
Контроль математической замкнутости, состоящий в проверке того,
что выписанная система математических соотношений дает
возможность, притом однозначно, решить поставленную
математическую задачу.

9.

ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА
МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Выбор того или иного метода исследования в значительной
степени зависит от квалификации и опыта членов рабочей
группы.
Алгоритмические
методы
сводятся
к
некоторому
алгоритму, реализующему вычислительный эксперимент с
использованием ЭВМ.
Численные методы применимы лишь для корректных
математических задач, что существенно ограничивает
использование их в математическом моделировании.

10.

РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
Процесс создания программного обеспечения можно
разбить на ряд этапов:
составление технического задания на разработку пакета
программного обеспечения;
проектирование структуры программного комплекса;
кодирование алгоритма;
тестирование и отладка;
сопровождение и эксплуатация.

11.

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней
мере, по трем причинам:
а) значения задаваемых параметров модели не соответствуют
допустимой области этих параметров, определяемой принятой
системой гипотез. Например, в задаче о баскетболисте гипотезу об
отсутствии сопротивления воздуха можно использовать лишь при
относительно малых (менее 5 м/с) скоростях движения тела. При
больших значениях начальной скорости мяча влияние силы
сопротивления будет существенным;
б) принятая система гипотез верна, но константы и параметры в
использованных определяющих соотношениях установлены неточно.
Например, в случае задачи о баскетболисте значение ускорения
свободного падения g может быть уточнено в зависимости от широты
местности, где находится баскетболист;
в)
неверна исходная совокупность гипотез.

12.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ
РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Модели могут использоваться:
для изучения свойств и особенностей поведения исследуемого объекта
при различных сочетаниях исходных данных и разных режимах;
как моделирующие блоки в различных САПР и автоматизированных
системах управления (АСУ);
при построении оптимизационных моделей и моделей-имитаторов
сложных систем и комплексов.
Независимо от области применения созданной необходимо провести
качественный и количественный анализ результатов моделирования.

13.

СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
При построении моделей часто возникает необходимость разбить
сложный объект на ряд простых подсистем для которых известны
хорошо показавшие себя модели.
Искусственная система есть совокупность взаимосвязанных
элементов, выделенных из среды и взаимодействующих с
окружающей средой как целое для достижения поставленной цели.
Важным признаком для выделения системы из среды является
возможность определения взаимодействия этой системы с
окружением независимо от поведения ее отдельных элементов
(именно это подразумевается под словами «взаимодействующая ...
как целое»).

14.

15.

Классификация структурных моделей
пространственные,
временные,
физические
иерархические.