Линейная функция

1.

Головина Наталья Николаевна
Учитель математики
МОУ «Бессоновская СОШ
Белгородского района
Белгородской области»

2.

Линейная функция
Степенная функция с целым показателем
Тригонометрические функции
Преобразование графика
функции
Задания для проверки
Давайте отдохнем

3.

1.Линейная функция и её свойства.
Линейной называется функция вида
y=kx+b, где k и b - действительные числа.
Пример:y=2x+3 (здесь k=2, b=3).
Свойства линейной функции:
Область определения - множество R
действительных чисел.
Линейная функция y=kx+b является
четной, если k=0, нечетной, если b=0, и
ни четной, ни нечетной, если k≠0 и b≠0.
Линейная функция y=kx+b возрастает,
если k>0, убывает, если k<0, если же
k=0 является постоянной.
Построение графика линейной функции:
При построении графика линейных
функций вида y=kx+b можно построить
график y=kx, и воспользоваться
параллельным переносом. Но проще найти,
используя аналитическое выражение, две
принадлежащие графику точки и провести
через них прямую.

4.

2.Постоянная функция.
Если k=0, то линейная функция является
постоянной, т.к. y=b. Получается, что все точки
графика данной зависимости будут иметь
одинаковую ординату y, которая будет равна b.
Свойства постоянной функции y=b.
D(f)= R;
E(f)= b;
ограничена сверху и снизу на всей области
своего существования;
не принимает, ни наибольшего, ни
наименьшего значения;
не периодическая;
четная;
постоянна на всей области своего
существования;
пересекает ось ординат в точке (0;b)
графиком данной функции является
прямая, параллельная оси Ox и
пересекающая ось Oy в точке (0;b).

5.

3.Прямая пропорциональность.
Если b=0, то линейная функция y=kx+b имеет вид
y=kx и называется прямой пропорциональностью; в этом
случае коэффициент k называется коэффициентом
пропорциональности.Пример:y=2x
Свойства прямой пропорциональности y=kx.
D(f)= R;
E(f)= R;
не ограничена ни снизу не сверху;
не принимает, ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
не периодическая;
нечетная;
возрастает на R при k>0 и убывает при k<0;
точка (0;0) - единственная точка пересечения с
осями координат;
графиком данной функции является прямая,
проходящая через начало координат.
Построение графика прямой пропорциональности:
При построении графиков линейных зависимостей
вида y=kx достаточно найти одну точку, принадлежащую
графику и отличную от нуля, и провести прямую через эту
точку и начало координат.

6.

4.Взаимное расположении графиков двух
линейных функций y=k1x+b1 и y=k2x+b2
если k1≠k2, b1≠b2, то прямые, служащие графиками данных функций
пересекаются;
если k1=k2, b1=b2, то прямые совпадают;
если k1=k2, b1≠b2, то прямые параллельны;
если k1≠k2, b1=b2, то прямые пересекаются в точке, принадлежащей оси Oy.

7.

Здесь мы рассмотрим степенную функцию с произвольным целым показателем, т.е.
зависимость вида y=xm, где m - целое число.
m=0 ,получаем функцию вида y=1, x≠0 - постоянная функция с проколом в точке (0;1)
m=1, получаем y=x – линейная функция, графиком является прямая проходящая через
начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных
углов
m=2, квадратичная функция y=x2
m=3, кубическая функция y=x3
m=-1, обратная пропорциональность y=1/x

8.

Квадратичная функция y=x2
Свойства квадратичной функции:
D(f)= R;
E(f)=(0;+∞);
ограничена снизу на всей области своего
существования;
принимает наименьшее значение в точке
(0;0);
непериодическая;
четная;
возрастает на промежутке [0;+∞[ и
убывает на промежутке ]-∞;0];
пересекает оси Oy и Ox в точке (0;0);
графиком является парабола, имеющая
вершину в точке (0;0) и ветви которой
направлены вверх;

9.

Кубическая функция y=x3
Свойства кубической функции:
D(f)= R;
E(f)= R;
не ограничена ни снизу, ни сверху на всей
области своего существования;
не принимает ни наибольших, ни
наименьших значений;
непериодическая;
нечетная;
возрастает на R;
пересекает оси Oy и Ox в точке (0;0);
графиком является кубическая
парабола, пересекающая начало
координат;

10.

Обратная пропорциональность
y= 1
х
Свойства обратной пропорциональности:
D(f)= (-∞;0)∪ (0;+∞);
E(f)= (-∞;0)∪ (0;+∞);
не ограничена ни снизу, ни сверху на всей
области своего существования;
не принимает ни наибольших, ни наименьших
значений;
непериодическая;
нечетная;
убывает на всей области своего существования;
не имеет пересечений с осями координат;
имеет горизонтальную и вертикальную
ассимптоты, которыми являются оси координат;
графиком является гипербола;

11.

Рассмотрим на координатной плоскости окружность
радиуса R = 1с центром O в начале координат.
Координатные оси делят окружность на четыре дуги,
которые называют четвертями. Рассмотрим
произвольный
угол . Точка M(x;y) лежит на единичной окружности,
считаем, что точка M результат поворота точки A(1;0) на
угол . На оси OX находятся значения cos угла поворота, а
на оси OY, соответственно, находятся значения sin
углов поворота. На дополнительных осях ctg и
tg параллельных осям OX и OY, соответственно,
находятся значения ctg и tg угла поворота.
Тригонометрические функции определяются
следующими равенствами:
синус: sin =y, т.е. ордината точки M;
косинус: cos =x, т.е. абсцисса точки M;
тангенс: tg =x : y, т. е. отношение ординаты к
абсциссе точки M;
котангенс: ctg =y : x, т. е. отношение абсциссы к
ординате точки M.
Замечание. Значение tg угла поворота не существует
для углов 2 + n n Z. Значение ctg угла поворота не
существует для углов n n Z.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ

12.

D(f)= R;
E(f)=[-1;1]
ограничена сверху и снизу на
всей области своего
существования;
при x=π/2+2πn, n∈Z
принимает наибольшее
значение y=1, а при x=π/2+2πn, n∈Z принимает
наименьшее значение y=-1;
периодическая с основным
периодом 2π;
нечетная;
возрастает на отрезке
[0+2πn;π/2+2πn], n∈Z и
убывает на отрезке
[π/2+2πn;π+2πn], n∈Z;
пересекает ось абсцисс в
точках (π+πn;0), n∈Z и ось
ординат в точке (0;0);
графиком является
синусоида.

13.

D(f)= R;
четная;
возрастает
E(f)=[-1;1]
ограничена сверху и снизу на на отрезке[-π+2πn;0+2πn], n∈Z
всей области своего
и убывает на отрезке
существования;
[0+2πn;π+2πn], n∈Z;
при x=0+2πn, n∈Z
пересекает ось абсцисс в
принимает наибольшее
точках (π/2+πn;0), n∈Z и
значение y=1, а при
ось ординат в точке (0;1);
x=π+2πn принимает
графиком является
наименьшее значение y=-1;
косинусоида.
периодическая с основным
периодом 2π;

14.

D(f)= R кроме
x=π/2+πk, k∈Z;
E(f)= R;
функция не ограничена
ни сверху, ни снизу;
не принимает ни
наибольшего ни
наименьшего значения
периодическая с
основным периодом π;
нечетная;
возрастает на отрезке
[-π/2;+πn;π/2+πn], n∈Z;
пересекает ось абсцисс
в точках (0+πn;0), n∈Z
и ось ординат в точке
(0;0);
графиком является
тангенсоида.

15.

D(f)= R кроме x=π+πk,
k∈Z;
E(f)= R;
функция не ограничена ни
сверху, ни снизу;
не принимает ни
наибольшего ни
наименьшего значения
периодическая с основным
периодом π;
нечетная;
убывает на отрезке
[0+πn;π+πn], n∈Z;
пересекает ось абсцисс в
точках (π/2+πn;0), n∈Z, не
имеет пересечений с осью
ординат;
графиком является
котангенсоида.

16.

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
y = f(x − b)
вправо, если b > 0;
влево, если b < 0.
y = f(x + b)
влево, если b > 0;
вправо, если b < 0.
Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц
y = f(x) + m
вверх, если m > 0,
вниз, если m < 0.
Отражение графика
y = f( − x)
Симметричное отражение графика
относительно оси ординат.
y = − f(x)
Симметричное отражение графика
относительно оси абсцисс.

17.

Сжатие и растяжение графика
y = f(kx)
При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,
при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x)
При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,
при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
Преобразования графика с модулем
y = | f(x) |
При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,
при f(x) < 0 — график симметрично отражается
относительно оси абсцисс.
y = f( | x | )
При x 0 — график остаётся без изменений,
при x < 0 — график симметрично отражается относительно
оси ординат.

18.

Здесь вы можете проверить усвоенный материал
удобным для вас способом:
1. Ответить на вопросы прямо сейчас пройдя по
ссылке, при этом сможете сразу проверить свои
ответы.
2. Хотите более сложный уровень, нажмите ОК и
выбирайте интересующий вас вопрос.
3. Подключить INTERNET и пройти независимое
тестирование.

19.

Найдите область определения и область значения
функции, заданной графически.
Найдите область определения функции, заданной
аналитически.
Установите вид функции по её графику.
Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК
Определите вид тригонометрической функции по её
графику.
Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК
Установите соответствие между видом функции и его
графиком.
Постройте график заданной функции.
Если вы хотите ответить на эти вопросы нажмите ОК
Назад к видам проверки

20.

http://uztest.ru/plugins/lessons/pazl/moe/t
ests/fun1/erkennen.html - тест на
соответствие формул и графиков;
http://uztest.ru/simulator - тренажер на
знание различных функций и их свойств;
Назад к видам проверки

21.

Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №23
(тест с проверкой)
Автор: Лариса Анатольевна Зубкова,
учитель математики и информатики
Рыбинск, 2008
21

22.

Д. Гильберт

23.

проверка
Задание 1. Установите соответствие
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:

24.

Задание 2.
Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите области определения этих функций
1) (- ; + )
1) (- ; + )
6) [0; + )
№ рисунка
1) (- ; + )
1) (- ; + )
4) (- ; 0) (0; + )
1
2
3
3) (- ; 0]
4
5
7) [-4; 4]
6
7
8
D(у)
1) (- ; + )
2) (- ; - 1]
3) (- ; 0]
7) [-4; 4]
8) [-2; + )
9) (- ; 3)
4) (- ; 0) (0; + )
5) [-2; 4]
6) [0; + )
проверка

25.

Задание 3.
Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите область значений этих функций
1) (- ; + )
8) [-2; + )
6) [0; + )
№ рисунка
6) [0; + )
4) (- ; 0) (0; + )
Вариант
2) (- ; - 1]
9) (- ; 3)
5) [-2; 4]
1 вариант
1
2
2 вариант
3
4
5
6
7
8
D(у)
1) (- ; + )
2) (- ; - 1]
3) (- ; 0]
7) [-4; 4]
8) [-2; + )
9) (- ; 3)
4) (- ; 0) (0; + )
5) [-2; 4]
6) [0; + )
проверка

26.

Задание 4. Используя графики функций на рисунках 1 – 9 определите, какие из функций:
1) Ограничены сверху
Ответ:
2)
снизу
2) Ограничены снизу
не ограничена
сверху
Ответ:
3) Ограничены
Ответ:
снизу
не ограничена
снизу
4) Не ограничены
Ответ:
сверху
ограничена
ограничена
проверка

27.

Задание 5. По графику функции определите промежутки монотонности функций
Функция возрастает
Ответ:
Функция убывает
Ответ:
[3; 5]
Функция возрастает
Ответ:
[- 5; - 3]
[- 3; - 2] [2; 3]
Функция убывает
Ответ:
[- 3; 2] [3; 4]
проверка

28.

Задание 6. По рисункам 1 – 12 укажите наибольшие и наименьшие значения функций
Унаим = - 2
Унаим = 0
Нет Унаиб и Унаим
Нет Унаиб и Унаим
Унаиб = 3
Унаим = 0
проверка

29.

Задание 6. По рисункам 1 – 12 укажите наибольшие и наименьшие значения функций
Унаиб = - 1
Унаиб = 2 ; Унаим = - 2
Унаиб = 2 ; Унаим = - 2
Унаиб = 2 ; Унаим = - 2,5
Унаиб = 2 ; Унаим = - 2
Унаиб = 3 ; Унаим = - 3
проверка