Похожие презентации:
Функции и их свойства
1.
Функции и их свойстваy
y = f(x)
0
x
2.
Понятие функцииЕсли каждому значению х из некоторого
множества чисел поставлено в соответствие
число у, то говорят, что на этом множестве
задана функция у(х).
При этом х называют независимой переменной
или аргументом,
а у – зависимой переменной или функцией.
y = f(x)
3.
Область определения имножество значений функции
Областью определения функции называют
множество всех значений, которые может
принимать ее аргумент.
Обозначается D(y)
Множество значений (или область значений)
функции – это множество всех значений
переменной у.
Обозначается E(y)
4.
Область определения имножество значений функции
Областью определения функции называют
множество всех значений, которые может
принимать ее аргумент.
Обозначается D(y)
Множество значений (или область значений)
функции – это множество всех значений
переменной у.
Обозначается E(y)
5.
Способы задания функции:• аналитический (с помощью формулы);
• графический (с помощью графика);
• табличный (с помощью таблицы значений);
• словесный (правило задания функции
описывается словами).
6.
Свойства функций:монотонность
Функцию y = f(x) называют возрастающей на
множестве Х, если для любых двух элементов из
этого множества, таких, что х1 < x2, выполняется
условие f(x1) < f(x2).
(Функцию называют возрастающей, если большему
значению аргумента соответствует большее значение
функции)
Функцию y = f(x) называют убывающей на
множестве Х, если для любых двух элементов из
этого множества, таких, что х1 < x2, выполняется
условие f(x1) > f(x2).
(Функцию называют убывающей, если большему значению
аргумента соответствует меньшее значение функции)
7.
Свойства функций:ограниченность
Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на
множестве Х, если существует число m, такое, что
для любого значения х ∊ Х, выполняется неравенство
f(x) > m.
Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на
множестве Х, если существует число M, такое, что
для любого значения х ∊ Х, выполняется неравенство
f(x) < M.
Если функция ограничена и снизу и сверху,
то ее называют ограниченной
8.
Свойства функций:наибольшее и наименьшее значения
Число m называют функции
наименьшим значением
функции y = f(x) на множестве Х, если:
существует число хо ∊ Х такое, что f(хo) = m;
для любого значения х ∊ Х выполняется
неравенство
f(x) ≥ f(xo).
Число М называют наибольшим значением
функции y = f(x) на множестве Х, если:
существует число хо ∊ Х такое, что f(хo) = М;
для любого значения х ∊ Х выполняется
неравенство
f(x) ≤ f(xo).
9.
Свойства функций:четность или нечетность
Функцию y = f(x), х ∊ Х называют четной, если для
любого значения х из множества Х выполняется
равенство f(-x) = f(x).
График четной функции симметричен относительно
оси ординат.
Функцию y = f(x), х ∊ Х называют нечетной, если
для любого значения х из множества Х выполняется
равенство f(–x) = – f(x).
График нечетной функции симметричен относительно
начала координат.
10.
Свойства функций:точки экстремума
Точку хо называют точкой максимума функции
y = f(x), если у этой точки существует
окрестность, для всех точек которой (кроме
самой точки хо) выполняется неравенство
f(x) < f(xo).
Точку хо называют точкой минимума функции
y = f(x), если у этой точки существует
окрестность, для всех точек которой (кроме
самой точки хо) выполняется неравенство
f(x) > f(xo).
Точки максимума и минимума объединяют
общим названием – точки экстремума
11.
Свойства функций:периодичность
Говорят, что функция y = f(x), х ∊ Х имеет
период Т, если для любого х ∊ Х выполняется
равенство
f(x – Т) = f(x) = f(x + T).
Функцию, имеющую отличный от нуля период
называют периодической.
Если функция y = f(x), х ∊ Х имеет период Т, то
любое число, кратное Т (т.е. число вида kT, k ∊ Z),
также является ее периодом.
12.
График функцииГрафиком функции называется множество всех
точек координатной плоскости (х; у(х)), абсциссы
которых равны значениям независимой переменной
из области определения этой функции, а ординаты –
соответствующим значениям функции.
(ордината) y
y = f(x)
0
x (абсцисса)
13.
Основные элементарныефункции, их свойства
и графики
14.
Линейная функция y=kx+bСвойства линейной функции y = kx + b:
1.D(f) = (– ; + ).
2.E(f) = (– ; + ).
3.Если b = 0, то функция нечетная.
4.а) Нули функции: (– b/k; 0);
б) точка пересечения с Оу: (0; b).
5.а) возрастает, если k > 0;
б) убывает, если k < 0.
6.Не ограничена ни снизу, ни сверху.
7.Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
8.Функция непрерывна на множестве (– ; + ).
15.
Линейная функция y=kx+by
0
b
b
k
x
16.
kОбратная пропорциональность у = x
Свойства функции y = k/x:
1.D(f) = (– ; 0) (0; + ).
2.E(f) = (– ; 0) (0; + ).
3.Функция нечетная.
4.а) Нули функции: нет;
б) точка пересечения с Оу: нет.
5.а) если k < 0, то (– ; 0) и (0; + ) – промежутки
возрастания функции;
б) если k > 0, то (– ; 0) и (0; + ) – промежутки
убывания функции.
6.Не ограничена ни снизу, ни сверху.
7.Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
8.Функция непрерывна на каждом из промежутков
(– ; 0) и (0; + ).
17.
kОбратная пропорциональность у = x
y
k
у = x , k<0
k
у = x , k>0
0
x
18.
Квадратичная функция y=kx2Свойства функции y = kx2 при k > 0:
1.D(f) = (– ; + ).
2.E(f) = [0; + ).
3.Функция четная.
4.а) Нули функции: (0; 0);
б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
5.а) [0; + ) – промежуток возрастания функции;
б) (– ; 0] – промежуток убывания функции.
6.Ограничена снизу, не ограничена сверху.
7.а) унаим. = 0;
б) унаиб. – не существует.
8.Непрерывна на множестве (– ; + ).
9.Выпукла вниз.
19.
Квадратичная функция y=kx2Свойства функции y = kx2 при k < 0:
1.D(f) = (– ; + ).
2.E(f) = (– ; 0].
3.Функция четная.
4.а) Нули функции: (0; 0);
б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
5.а) [0; + ) – промежуток убывания функции;
б) (– ; 0] – промежуток возрастания функции.
6.Ограничена сверху, не ограничена снизу.
7.а) унаиб. = 0;
б) унаим. – не существует.
8.Непрерывна на множестве (– ; + ).
9.Выпукла вверх.
20.
Квадратичная функция y=kx2y
0
y = kx2, k>0
x
y = kx2, k<0
21.
Степенная функция y= xСвойства функции y = x:
1.D(f) = [0; + ).
2.E(f) = [0; + ).
3.Функция ни четная, ни нечетная.
4.а) Нули функции: (0; 0);
б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
5.[0; + ) – промежуток возрастания функции.
6.Ограничена снизу, не ограничена сверху.
7.а) унаим. = 0;
б) унаиб. – не существует.
8.Непрерывна на множестве [0; + ).
9.Выпукла вверх.
22.
Степенная функция y= xy
y = x
0
x
23.
Кубическая функция y=x3Свойства кубической функции y = x3:
1.D(f) = (– ; + ).
2.E(f) = (– ; + ).
3.Функция нечетная.
4.а) Нули функции: (0; 0);
б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
5.Возрастает на множестве (– ; + ).
6.Не ограничена ни снизу, ни сверху.
7.Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
8.Функция непрерывна на множестве (– ; + ).
24.
Кубическая функция y=x3y
y = x3
0
x
25.
пСтепенная функция y= x, х ≥0
n
Свойства функции y = x, х ≥ 0:
1.D(f) = [0; + ).
2.E(f) = [0; + ).
3.Функция ни четная, ни нечетная.
4.а) Нули функции: (0; 0);
б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
5.[0; + ) – промежуток возрастания функции.
6.Ограничена снизу, не ограничена сверху.
7.а) унаим. = 0;
б) унаиб. – не существует.
8.Непрерывна на множестве [0; + ).
9.Выпукла вверх.
26.
пСтепенная функция y= x, х ≥0
y
п
y = x
0
x
27.
пСтепенная функция y= x,
п - нечетное
n
Свойства функции y = x, n = 2k+1:
1.D(f) = (– ; + ).
2.E(f) = (– ; + ).
3.Функция нечетная.
4.а) Нули функции: (0; 0);
б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
5.Возрастает на множестве (– ; + ).
6.Не ограничена ни снизу, ни сверху.
7.Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
8.Функция непрерывна на множестве (– ; + ).
28.
пСтепенная функция y= x,
п - нечетное
y
п
y = x
0
x