Линейные пространства

1.

Линейные пространства

2.

3.

Подпространство линейного пространства
- это линейное пространство, все элементы которого являются
элементами исходного линейного пространства

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Обратите внимание! В формуле матрицы представлены своими
обозначениями.
Это максимально удобный способ представления,
позволяющий проводить все необходимые вычисления, при условии, что
мы правильно совершаем действия с матрицами. Как мы узнали из
предыдущих лекций, для матриц выполняются:
дистрибутивные законы (A+B) = A+ B и ( + ) A = A + A,
ассоциативные законы A(BC)=(AB)C и (A+B)+C=A+(B+C).
При этом коммутативный закон выполняется только для сложения:
А+B=B+A
При умножении двух матриц, их нельзя менять местами!
Это означает, что если нужно умножить выражение на матрицу – ее всегда
необходимо записывать с учетом порядка умножения (с правильной
стороны!)

10.

Координаты векторов при замене базиса преобразуются по
определенным правилам
x=eX=e’X’=eTX’, X=TX’

11.

Линейные операторы

12.

Отображение линейного пространства

13.

Линейные операторы
Линейный оператор – это линейное отображение,
действующее из линейного пространства Rn в это же
пространство Rn.

14.

Матрица линейного оператора
Матрица-строка преобразованных оператором базисных
векторов
умножается на координатный столбец

15.

16.

17.

Пример: Получить матрицу линейного оператора, отображающего x в
вектор y=2x1e1+(x1-x2)e2.
Решение:

18.

Преобразование матрицы оператора при переходе к
новому базису

19.

Собственные значения и
собственные вектора линейного
оператора

20.

Обратите внимание: данное равенство может выполняться только
при определенных значениях (собственных значениях оператора) и
только для векторов с определенным набором координат
(собственных векторов), которые необходимо искать и которые могут
отсутствовать для заданной в условии задачи матрицы оператора

21.

22.

23.

Многочлены четной степени можно представлять в виде
произведения многочленов второго порядка. В случае нечетной
степени в разложении появляется также один многочлен первого
порядка

24.

25.

Формула для решения квадратного уравнения
А называется действительной частью комплексного числа,
B – мнимая часть комплексного числа

26.

Характеристическое уравнение (n=2)

27.

Характеристическое уравнение (n=3)
частный случай

28.

29.

Матрица линейного оператора в базисе
собственных векторов

30.

В случае, если матрица линейного оператора симметрична,
все собственные значения оператора являются вещественными
числами, а собственные вектора, соответствующие различным
собственным значениям ортогональны друг другу.
Поскольку собственные вектора определяются с точностью до
множителя, для оператора с симметричной матрицей можно построить
ортонормированный базис из собственных векторов.

31.

Модель Леонтьева

32.

Данная модель была предложена американским экономистом В.
Леонтьевым в 1930 году. В 1973 году им была получена Нобелевская
премия за развитие метода «затраты - выпуск».
В модели предполагается существование нескольких связанных
друг с другом производственных отраслей. Каждая отрасль производит
свой продукт, который в общем случае может быть как продан
потребителю (эта часть общего выпуска отрасли называется «конечный
продукт» или «конечный спрос»), так и использован для нужд
производства в самой отрасли и других отраслях. Таким образом,
количество выпущенной отраслью продукции равно сумме
производственного потребления и непроизводственного потребления
(конечного спроса).

33.

34.

35.

Основное уравнение модели Леонтьева,
X=AX+Y
записанное в матричном виде, легко преобразовать к виду, позволяющему
при заданном валовом выпуске отрасли и известных коэффициентах
прямых затрат (технологических коэффициентах) найти конечный спрос.
Y = (E-A)X
Также данное уравнение может быть преобразовано к виду, позволяющему
найти необходимый валовый выпуск отраслей по заданному конечному
спросу (конечному продукту).

36.

Продуктивность модели

37.

38.

39.

40.

Евклидовы вещественные
линейные пространства

41.

42.

43.

44.

45.

Если скалярное произведение векторов равно 0, вектора
называются ортогональными.
Мы говорим, что вектора x и y ортогональны, если (x, y)=0

46.

47.

48.

49.

50.

Скалярное произведение векторов
(разные способы записи)
в двумерном ортонормированном базисе
(x, y)=(x1e1+x2e2, y1e1+y2e2)=
=(eX, eY)= xiyi=XTY=YTX