Условная вероятность. Умножение вероятностей

1.

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
У Р О К 9 ,1 0

2.

Определение
Если А и В два события, связанные некоторым опытом, причем Р(В)≠0, то
число
называется вероятностью события А при условии, что наступило событие В,
или просто условной вероятностью события А.

3.

Задача 1.
В случайном эксперименте Ω монету бросают два раза.
Событие A = {два раза выпал орёл} имеет вероятность 1/4 . Предположим, что нам известно,
что при первом броске выпал орёл (событие B). Теперь для наступления события A достаточно,
чтобы орёл выпал ещё только один раз. Вероятность этого равна 1/2 . Получается, что одно и то
же событие A в условиях исходного эксперимента Ω имеет вероятность P(A)= P(A|Ω)= 1/4 , а при
условии, что событие B наступило, вероятность того же события A стала другой: P(A|B)= 1/2
Разобьём событие A на два несовместных события A ∩ B и A ∩ В. Тогда по формуле сложения
вероятностей P(A|B) = P(A ∩B|B)+ P(A ∩B|B). Событие B уже произошло, поэтому событие A
∩B осуществиться не может.
Значит, P(A ∩B|B)= 0.
Следовательно, P(A|B) = P(A ∩B|B).

4.

Задача 2.
∙ Какова вероятность того, что наугад вынутая из полного набора
домино кость окажется "дублем", если известно, что сумма очков
меньше чем 5.
∙ Решение: в наборе домино 28 костей, из них 7 "дублей". На девяти
костях сумма очков меньше чем 5:
0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 1-1, 1-2, 1-3, 2-2.
Пусть В= сумма очков на вытянутой кости меньше 5
А = вытянутая кость есть "дубль"
АВ = на вытянутой кости, являющейся "дублем", сумма очков
меньше 5 (таких три: 0-0, 1-1, 2-2).

5.

Задача 3.
В конце экзамена два оставшихся студента по очереди вытягивают по
одному билету. Первым будет тянуть Иванов, а вторым – Петров. На
столе осталось три билета: восьмой, пятнадцатый и девятнадцатый.
Найти вероятность события «Иванов взял билет № 8, а Петров – № 19»

6.

Задача 3.
В конце экзамена два оставшихся студента по очереди вытягивают по одному
билету. Первым будет тянуть Иванов, а вторым – Петров. На столе осталось три
билета: восьмой, пятнадцатый и девятнадцатый. Найти вероятность события
«Иванов взял билет № 8, а Петров – № 19»
Решение: рассмотрим два события
B = Иванов взял билет № 8 ,
Сначала выбирает Иванов
и
A = Петров взял билет № 19 .
P(B)= 1/3 .
Во втором опыте выбирает Петров, и у него каждый раз есть два
равновозможных исхода, однако какие это исходы – зависит от того, что вытянул
Иванов.

7.

Задача 3.
В конце экзамена два оставшихся студента по очереди вытягивают по одному
билету. Первым будет тянуть Иванов, а вторым – Петров. На столе осталось три
билета: восьмой, пятнадцатый и девятнадцатый. Найти вероятность события
«Иванов взял билет № 8, а Петров – № 19»
Решение: рассмотрим два события
B = Иванов взял билет № 8 ,
Сначала выбирает Иванов
и
A = Петров взял билет № 19 .
P(B)= 1/3 .
Во втором опыте выбирает Петров, и у него каждый раз есть два
равновозможных исхода, однако какие это исходы – зависит от того, что вытянул
Иванов. Если Иванов вытянул билет № 8, то вытянуть билет № 19 Петров может с
вероятностью 1/2 , то есть P(A|B)= 1/2 .
Тогда вероятность интересующего нас события A ∩B можно найти по формуле
умножения:
P(A ∩B) = P(A|B)· P(B) = 1/2 · 1/3 = 1/6 .

8.

Домашнее задание
1. В эксперименте бросают одну игральную кость. Найдите вероятность
события: а) выпало больше трёх очков, если известно, что выпало чётное
число; б) выпало число пять, если известно, что выпало нечётное число; в)
выпало число, кратное 3, если известно, что выпало чётное число.
2. В эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того,
что: а) в сумме выпало больше десяти очков, если известно, что в первый раз
выпало чётное число; б) в сумме выпало больше девяти очков, если известно,
что оба раза выпало одно и то же; в) в сумме выпало менее пяти очков, если
известно, что во второй раз выпало либо два, либо три.