Сила и недостатки классической логики

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ижевский государственный технический университет
имени М. Т. Калашникова»
Кафедра «АСОИУ»
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
Автор Исенбаева Е.Н., старший преподаватель
Ижевск
2014

2. ВВЕДЕНИЕ

Логические теории делятся на два класса, образуя
системы классической и неклассической логики.
Классическая логика как система знаний
сформировалась еще в 4 в. до н.э. в трудах
выдающегося древнегреческого мыслителя
Аристотеля.
Неклассическая логика возникла в конце 19 –
начале 20 века в результате критики и дополнений
некоторых основных положений парадигмы
классической логики.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
2

3. ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

• Положение 1. Классическая логика основывается
на предположении, что значение сложного
предложения зависит лишь от значений его
компонент, а не от их смысла.
• Положение 2. Замена эквивалентных приводит к
тому, что логика может быть описана через
множество логических значений, составляющее
алгебру, операции которой соответствуют
логическим связкам данной логики.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
3

4. ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

• Положение 3. Классическая логика является
истинностнозначной, т. е. может быть описана
через фиксированную алгебру логических значений
{0, 1}.
• Положение 4. Классическая логика не обязательно
требует двузначности интерпретаций. Необходимо
и достаточно, чтобы множество истинностных
значений образовывало булеву алгебру.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
4

5. ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

• Положение 5. Чтобы применять классическую
логику, необходимо, чтобы выполнялись основные
свойства аксиоматики следования по Тарскому —
рефлексивность, монотонность, транзитивность
и теорема дедукции.
• Положение 6. Следовательно, для ее применения
необходимо быть уверенным, как минимум, в том,
что имеющиеся ресурсы достаточно велики либо
расходуемые достаточно малы, чтобы пренебречь
их ограниченностью.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
5

6. ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

• Положение 7. Классическая логика перестает
работать, если мы интересуемся не истинностью в
случае неизменной фиксированной точки зрения, а
развитием понятий.
• Положение 8. Классическая логика может подвести
нас тогда, когда мы стремимся использовать
доказанные утверждения вида
как основу для
алгоритмических построений.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
6

7. ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

• Положение 9. Классическая логика практически
бессильна, когда нужно формализовывать незнание.
• Положение 10. Классическая логика может
подвести в любой момент, если мы работаем с
квазивысказываниями.
• Положение 11. Выражаясь несколько
метафорически, классическая логика — логика
конкретного знания и веры, а неклассическая —
логика построения, изменения знания и сомнения.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
7

8. ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ

• Принцип 1. Понятия могут описываться лишь в их
взаимосвязи. Совокупность взаимосвязанных
понятий может быть описана как сигнатура сигма.
• Принцип 2. Объем понятия является производным
от его содержания и взаимосвязей с другими
понятиями.
• Принцип 3. Для гуманитарных понятий и их
объемы, и их взаимосвязи все время меняются, их
нельзя однозначно зафиксировать.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
8

9. ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ

• Принцип 4. Имеется оператор диагонализации,
выдающий по любой эффективно заданной
последовательности уточнений рассматриваемых
понятий новое уточнение, не совпадающее ни с
одним из членов последовательности.
• Принцип 5. Имеется оператор альтернативы,
выдающий по каждой паре уточнений
, где
Ф1 расширяет Ф0, новое уточнение Ф2,
расширяющее Ф0, но несовместимое с Ф1.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
9

10. ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ

• Принцип 6. Имеются абсолютно общепризнанные
соотношения между понятиями (трюизмы), но они
— самые бесполезные из всех соотношений.
• Принцип 7. В каждый данный момент для данной
конкретной цели взаимоотношения понятий
описываются как классическая теория Th a. Эта
теория называется ипостасью системы
неформализуемых понятий.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
10

11. ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ

• Принцип 8. Среди этих теорий есть теория Tho,
являющаяся подтеорией любой Th a.
• Принцип 9. Имеется вычислимая функция ip,
строящая по каждой паре теорий Th a C Thp,
теорию Th, f (a, f 3) расширяющую Th a, но
несовместимую с Thp.
• Таким образом, каждое расширение теории имеет
альтернативу.
• Принцип 10. Пересечением множества теорем всех
теорий, расширяющих Th a, являются теоремы
самой Th a.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
11

12. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• Истинность формул данного языка нельзя выразить
внутри него самого.
• Не все вычислимые функции могут быть
продолжены до всюду определенных.
• Ни одна достаточно богатая теория не может быть
полна.
• Неполнота не может быть устранена никакими
средствами, допускающими хотя бы частичную
алгоритмическую проверку.
• Неразрешимые утверждения бывают разных
типов, в том числе и такие, которые не зависят не
только от теории, но и друг от друга.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
12

13. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• Пополнение теории правилом, позволяющим
переходить от доказуемости A(n) при
произвольном
n к истинности
весьма сильно
расширяет возможности теории.
• Даже внутри самой теории имеются
предложения вида
P(x) с разрешимым P, для
доказательства которых необходимо привлекать сколь
угодно сложные формулы.
• Можно заниматься формализацией и неформализуемых
понятий, и в этом случае классическая логика — первый
кандидат на звание подходящей для теорий,
описывающих состояние понятий в данный момент, для
данной цели и с данной точки зрения.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
13

14. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• Классическая логика перестает работать, если мы
интересуемся не истинностью в случае неизменной
фиксированной точки зрения, а развитием понятий.
Она может подвести нас и тогда, когда мы стремимся
использовать доказанные утверждения вида
как
основу для алгоритмических построений.
• Классическая логика практически бессильна, когда
нужно формализовывать незнание.
• Выражаясь несколько метафорически, классическая
логика — логика конкретного знания и веры, а
неклассическая — логика построения, изменения
знания и сомнения.
Курс «Математическая логика и теория алгоритмов»
Тема «Сила и недостатки классической логики»
14

15.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
© ФГБОУ ВПО ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, 2014
© Исенбаева Елена Насимьяновна, 2014