9a9da6f79308d31aad394006f01b7ca5

1.

Комплексно
сопряженные числа.
Возведение в
натуральную степень
(формула Муавра).

2. Сопряженные комплексные числа

Определение: Если у комплексного числа сохранить
действительную часть и поменять знак у мнимой части, то
получится комплексное число, сопряженное данному.
Если данное комплексное число обозначается буквой z, то
сопряженное число обозначается z :
z x yi z x yi
Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они)
равны своим сопряженным числам.
Числа y + xi и y – xi называются взаимно сопряженными
комплексными числами.

3. Свойства сопряженных чисел

1. Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число
действительное.
z z ( a bi ) ( a bi ) 2a
z z ( a bi )( a bi ) a 2 (bi ) 2 a 2 b 2
2. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно
сумме сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
3. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно
разности сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
4. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно
произведению сопряженных данным числам.
z1z2 z1 z2

4. Свойства сопряженных чисел

5. Число, сопряженное п-ой степени комплексного числа z,
равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z, т.е.
z n ( z)n , n N
6. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из
которых делитель отличен от нуля, равно частному
сопряженных чисел, т.е.
a bi a bi
c di c di

5. Арифметические операции над комплексными числами

(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)( c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di)( c di) c d
c d

6. Тригонометрическая форма комплексного числа

z r cos i sin
где φ – аргумент комплексного числа,
r=
cos
a 2 b 2 - модуль комплексного числа,
a
a2 b2
и sin
b
a2 b2

7. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Теорема
Если
1.
z1 0, z2 0
и
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , то:
а)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
б)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
Теорема 2 (формула Муавра).
Пусть z — любое отличное от нуля
комплексное число, п — любое целое число.
Тогда
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

8. Извлечение корня из комплексного числа.

• Теорема. Для любого натурального числа n и
отличного от нуля комплексного числа z существуют
n различных значений корня n-степени.
Если
z r cos i sin ,
то эти
значения выражаются формулой
2 k
2 k
wk r cos
i sin
,
n
n
где k 0,1,..., (n 1)
n

9. Проверь себя

1. Данные комплексные числа записать в тригонометрической форме.
2+2 3і
2. Выполнить действия над комплексными числами, записанными в
тригонометрической форме.
П
П
П
П
А) 3 cos і sin X 2 cos і sin ;
6
6
4
cos
240
і
sin
240
Б)
;
2 cos 60 і sin 60
8
В) cos 30 і sin 30 ;
3
3

10.

3. Выполнить действия.
А) (5-4і)+(3+7і);
Б) (4+3і)-(2+і);
В) (3+5і) (5+3і);
6
Г) 1 2і ;
Д) (5 3і)2 ;
457
i
;
Е)
Ж) 0,25