Лекция 5(17) 1к-1с. Динамика-3

1.

Физика 1 курс, 1 семестр
Лекция 5. Физические основы механики
Неинерциальные системы
отсчёта
В.И. Читайкин
кандидат физико-математических наук
доцент

2.

План лекции
Наименование раздела
Номер слайда
Введение
3
Раздел 1. Основные положения
4
1.1. Связь инерциальной и неинерциальной систем отсчёта
5
1.2. Ускорение тела в неинерциальной системе отсчёта
6
1.3. Сила инерции
7
1.4. Основное уравнение динамики в неинерциальной системе
8
1.5. Особенности сил инерции
9
Раздел 2. Силы инерции. Примеры
10
Предварительное замечание
11
2.1. Поступательная сила инерции
12
2.2. Центробежная сила инерции
13
2.3. Сила Кориолиса
15
Заключительное замечание
18
2

3.

Введение
Законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчёта.
Более того, именно первый закон Ньютона (закон инерции) утверждает существование
инерциальных систем отсчёта. Действительно, по определению:
«Инерциальной системой отсчёта является такая система отсчёта, относительно которой тело
(материальная точка), свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно и
прямолинейно».
Инерциальных систем отсчёта может быть множество, все они либо движутся относительно
друг друга с постоянной скоростью, либо покоятся. Основное уравнение динамики (2-ой закон
Ньютона) будет справедливо в любой из них, т.е. в любой инерциальной системе отсчёта ускорение
тела будет одинаковым. Для решения конкретной задачи надо лишь выбрать какую-либо одну
инерциальную систему, наиболее удобную в данном конкретном случае.
В неинерциальных системах законы Ньютона, строго говоря, не справедливы. Но применять
их всё-таки можно, если ввести в рассмотрение силы особого рода – силы инерции.
Лекция 5 посвящена рассмотрению неинерциальных систем отсчёта и соответствующих сил
инерции.
3

4.

Раздел 1. Основные положения
4

5.

1. Основные положения
1.1. Связь инерциальной и неинерциальной систем отсчёта
К-система
y
y'
К'-система
К-система
y
y'
w
v
x'
o'
x
o
z'
z'
z
x'
o'
x
o
К'-система
z
Две инерциальные системы:
Инерциальная и НЕинерциальная системы:
К'-система движется относительно
K'-cистема движется относительно другой Kдругой К-системы с постоянным
системы с ускорением w.
вектором скорости v = Const,
Система К – инерциальная;
ускорение систем друг относительно
система К' - неинерциальная
друга отсутствует: w = 0.
Инерциальная и неинерциальная системы связаны друг с другом
Обе системы (К-система и К'посредством относительного ускорения w.
система) - инерциальные
Очевидно, этот вывод не зависит от наличия или отсутствия тела
(материальной точки) в рассматриваемом пространстве.
Можно ли считать К-систему неинерциальной, а К'–систему инерциальной? Если да, то
5
каково ускорение К-системы относительно К'–системы?

6.

1. Основные положения
1.2. Ускорение тела в неинерциальной системе отсчёта
Поместим тело (материальную точку) в рассматриваемое пространство – точка А.
К'-система
y'
К-система
y
а'
А
а
w
w
o'
x'
x
o
z'
z
Система К – инерциальная
Система К' - неинерциальная
Показано векторное вычитание
Ускорение неинерциальной К'-системы относительно инерциальной К-системы обозначено буквой w – как на предыд. слайде.
Ускорение точки А в инерциальной К-системе обозначено буквой а.
Очевидно, что ускорение точки А в неинерциальной К'-системе а'
будет отличаться от ускорения а в инерциальной К-системе. Это
отличие можно выразить так:
а – а' = w
(векторная разность!)
Тогда ускорение точки А в неинерциальной К'-системе определяется
так:
а' = а – w
Полученные выражения определяют связь ускорений тела в
инерциальной (а) и неинерциальной (а') системах через ускорение
этих систем относительно друг друга (w).
6

7.

1. Основные положения
1.3. Сила инерции
Пусть тело (материальная точка А) имеет массу m и на него действует сила F. Тогда ускорение
тела можно рассчитать по 2-ому закону Ньютона:
a = (1 / m)∙F
Эта выражение справедливо только в инерциальной системе отсчёта!
Ускорение тела в неинерциальной системе отсчёта (с учётом формул на предыдущем слайде)
можно представить так:
a' = a – w = (1 / m)∙F – w
w – ускорение неинерциальной системы относительно инерциальной
То есть: даже если на тело не будет действовать сила (F = 0), в неинерциальной систем отсчёта
оно будет двигаться с ускорением -w. Как будто на тело всё же действует сила равная (-m∙w).
Обратите внимание на знак «минус» в этом выражении.
Введём определение: сила инерции есть произведение массы тела на ускорение неинерциальной
системы относительно инерциальной, взятое с обратным знаком.
Fin = - m∙w
или: Fin = - m∙(a – a')
Другое определение: сила инерции есть произведение массы тела на разность ускорений тела в
инерциальной в неинерциальной системах, взятое с обратным знаком.
7

8.

1. Основные положения
1.4. Основное уравнение динамики в неинерциальной системе
Вновь запишем формулу для силы инерции (см. предыд. слайд):
К'-система
Fin = - m∙(a – a')
К-система
По определению:
- выражение m∙a – есть сила, действующая на тело в
инерциальной системе: F = m∙a;
- выражение m∙a' – есть сила, действующая на тело в
неинерциальной системе: F' = m∙a'.
Тогда основное уравнение динамики (2-ой закон Ньютона) в
неинерциальной системе будет иметь вид:
m∙a' = F + Fin
(векторная сумма!).
Формулировка 2-ого закона Ньютона: Сила, действующая на
тело в неинерциальной системе отсчёта (F' = m∙a'), определяется векторной суммой «реальной» силы, действующей на тело
в инерциальной систем отсчёта (F = m∙a), и силы инерции,
связанной с ускоренным движением систем координат
относительно друг друга (Fin = - m∙w).
y'
y
А
F
F'
w
Fin
o'
x'
x
o
z'
z
Обратите внимание: направление силы
инерции Fin и вектора ускорения w
противоположны!
Этим этот рисунок отличается от
рисунка на сл.6, где показаны ускорения.
8

9.

1. Основные положения
1.5. Особенности сил инерции
Важно отметить различие сил инерции и «реальных» сил взаимодействия тел.
1 отличие. Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел – в отличие от «реальных» сил, а
обусловлены свойством самой системы отсчёта, а именно: ускоренным движением одной системы
(неинерционной) относительно другой (инерционной). 3-ий закон Ньютона на силы инерции не
распространяется. Подумайте, почему?
2 отличие. Силы инерции отсутствуют в инерциальной системе. Почему? В инерциальной системе
могут быть только «реальные» силы, т.е. силы, обусловленные взаимодействием с другими телами.
3 отличие. Силы инерции пропорциональны массе тела, несмотря на их «нереальное»
происхождение. Это следует из вывода основных формул для Fin – см. п.п. 1.1, 1.2, 1.3. По этой
причине и с учётом равенства инертной и гравитационной масс тела (см. предыд. лекцию) принцип
эквивалентности становится более точным. Повторим формулировку этого принципа с небольшим
уточнением:
«Силы инерции можно считать эквивалентными гравитационным силам. Следовательно, движущаяся
с ускорением неинерциальная система отсчёта эквивалентна некоторому гравитационному полю.»
Это означает, в частности, что «реальная» гравитационная сила эквивалентна ускоренному движению
системы отсчёта (системы координат) в пустом (!) пространстве. Проще говоря: чисто геометрическое ускоренное
9
движение системы координат в пустом пространстве создаёт гравитационное поле в нём!

10.

Раздел 2. Силы инерции. Примеры
10

11.

2. Силы инерции. Примеры
Предварительное замечание
Выделяют три основные силы инерции.
1. Поступательная (или – переносная) сила инерции, FПСИ.
Поступательная сила инерции возникает, когда неинерциальная система координат движется
ускоренно и поступательно относительно инерциальной системы.
В разделе 1 при выводе формулы основного уравнения динамики в неинерциальной системе отсчёта
использовалась именно эта сила. Полученная таким образом основная формулировка 2-ого закона
Ньютона (см. сл.8) является универсальной и может быть применена к любой силе инерции и их
сочетанию.
2. Центробежная сила инерции, FЦБ.
Центробежная сила инерции возникает, когда неинерциальная система координат движется по
окружности относительно инерциальной системы. Как правило, в таком случае неинерциальная система
совмещена с вращающемся телом (материальной точкой).
3. Сила Кориолиса (или – кориолисова сила инерции), FК.
Сила Кориолиса возникает, когда неинерциальная система координат движется по окружности
относительно инерциальной системы (как и в случае центробежной силы) и плюс к этому: тело
11
движется относительно этой неинерциальной системы.

12.

2. Силы инерции. Примеры
2.1. Поступательная сила инерции
Поступательная (переносная) сила инерции FПСИ, по сути, рассмотрена в разделе 1.
Повторим основные положения.
Поступательная сила инерции возникает, когда неинерциальная К'-система координат движется
ускоренно (ускорение w) и поступательно относительно инерциальной К-системы.
К'-система
К-система
y'
y
А
F
F'
w
FПСИ o'
x'
x
o
z'
Уравнение движения (2-ой закон Ньютона) для тела А:
- В инерционной К-системе: m∙a = F;
- В неинерционной К'-системе: m∙a' = F + FПСИ
Поступательная сила инерции определяется так:
FПСИ = - m∙w = - m∙(a – a')
Направление поступательной силы инерции противоположно направлению ускорения К'-системы относительно К-системы, т.е. вектору w.
z
12

13.

2. Силы инерции. Примеры
2.2. Центробежная сила инерции
Алгоритм рассмотрения центробежной силы инерции FЦБ точно такой же, как и поступательной
силы инерции (см. раздел 1).
Пусть инерциальная К-система покоится, а неинерциальная К'-система вращается вокруг её оси z с
угловой скоростью ω. При этом точки начала отсчёта (о' и о) а также оси (z' и z) обеих систем совпадают.
Линейная скорость вращения К'-системы относительно
z z'
неподвижной К-системы составляет:
v = ω∙R,
R – удаление произвольной точки пространства
y'
v
o,o'
R
x
v
x'
a=w
y
от оси вращения z; или: R – радиус вращения.
Вектор R направлен от центра вращения
Ускорение, возникающее при вращении, есть
a = v2 / R = - ω2∙R, - центростремительное ускорение
оно направлено к центру окружности вращения.
Вращающаяся неинерциальная К'-система движется относительно
покоящейся инерциальной К-системы с ускорением a.
Другими словами, ускорение неинерциальной К'-системы относительно покоящейся инерциальной К-системы составляет а, т.е. w = a.
13

14.

2. Силы инерции. Примеры
2.2. Центробежная сила инерции (продолжение)
Поместим тело с массой m в точку А. Тело, как и точка А, вращается по окружности радиуса R с той
же угловой скоростью ω и линейной скоростью v, что и К'-система относительно К-системы. Тело в К'системе покоится.
z z'
y'
v
В инерциальной К-системе на тело действует центростремительная
сила:
FЦ.СТ = m∙a = - m∙ω2∙R, направлена к центру вращения.
В неинерциальной К'-системе тело покоится, центростремительная
y
FЦ.СТ
сила отсутствует. Но появляется сила инерции, которая, по опредеR
v
лению (см. сл.7) есть:
F
=
F
А
in
ЦБ
v
x
Fin = - m∙w = - (-m∙ω2∙R ) = m∙ω2∙R , направлена от центра вращения
x'
Эта сила имеет название – центробежная сила, FЦБ.
Возникающая при движении по окружности центробежная сила есть одно из проявлений сил
инерции, обусловленных ускоренным движением систем отсчёта относительно друг друга.
o,o'
Надо ли учитывать центробежную силу при расчёта силы тяжести в поле Земли? Ведь точка на поверхности Земли,
относительно которой рассчитывается сила mg, вращается…
14

15.

2. Силы инерции. Примеры
2.3. Сила Кориолиса (понятие)
При рассмотрении центробежной силы (предыд. п.2.2.) предполагалось, что тело, помещённое в точку
А, вращается с той же угловой и той же линейной скоростями, что и вращающаяся неинерционная К'система относительно неподвижной инерционной К-системы. То есть, тело неподвижно в К'-системе.
Возможна ситуация, когда тело будет двигаться относительно вращающейся неинерционной К'системы и, конечно, относительно неподвижной инерционной К-системы.
z
R
FЦ.СТ
v' ωR
А
FЦБ
На рисунке показаны уже известные
нам силы: FЦБ и FЦ.СТ
Для простоты, рассмотрим частный случай.
Неинерциальная К'-система вращается по окружности с постоянными
угловой и линейной скоростями.
Пусть тело (точка А) относительно К'-системы движется равномерно
по той же окружности с линейной скоростью v'.
Тогда полная линейная скорость движения тела по окружности будет:
v = ω∙R + v'
(векторное сложение)
15

16.

2. Силы инерции. Примеры
2.3. Сила Кориолиса (понятие) - продолжение
Повторим рисунок.
Полная линейная скорость движения тела по окружности будет:
v = ω∙R + v'
(векторное сложение)
Вектора скоростей ω∙R и v' сонаправлены (случай противонаправленности
z
этих векторов рассмотрите самостоятельно)
Значит, модуль вектора полной скорости равен: v = ω∙R + v'.
R
В неподвижной инерционной К-системе этой полной скорости
v' ωR
соответствует сила, модуль которой равен:
А
FЦБ
F = m∙a = m∙v2 /R.
Подставим значение полной скорости v = ω∙R + v', получим:
F = m∙a = m∙v2 /R = m∙(ω∙R + v')2 / R = m∙ω2∙R + 2m∙v'∙ω + m∙v'2 /R
По физическому смыслу, выражение (m∙v'2 /R) – есть сила, действующая на тело во вращающейся
неинерциальной К'-системе, т.е. m∙a' – по определению (см. сл.8).
Также, выражение (m∙ω2∙R) – есть модуль центробежной силы, FЦБ.
FЦ.СТ
16

17.

2. Силы инерции. Примеры
2.3. Сила Кориолиса (понятие) - продолжение
С учётом сделанных замечаний, можно переписать полученное выражение для силы, действующей
на тело во вращающейся неинерциальной К'-системе:
m∙a' = F - 2m∙v'∙ω - FЦБ
Определение: сила Кориолиса есть FК = 2m∙v'∙ω или в векторной форме: FК = 2m∙[v'∙ω].
Окончательное выражение для силы, действующей на тело во вращающейся неинерциальной К'системе:
z
m∙a' = F - FК - FЦБ
Соответственно, следует дополнить рисунок,
показав на нём все силы, включая силу Кориолиса (FК).
R
F или FЦ.СТ
v' ωR
А
FК
FЦБ
17

18.

2. Силы инерции. Примеры
Заключительное замечание
Рассмотренные три силы инерции: поступательная, центробежная и сила Кориолиса, – не
меняют смысла основного уравнения движения (2-ого закона Ньютона) в неинерциальной
системе (см. сл.8):
m∙a' = F + Fin
(векторное сложение)
В общем виде вектор силы инерции Fin может быть записан так:
Fin = FПСИ + FЦБ + FК
(векторное сложение)
Наличие или отсутствие конкретных сил инерции, их значение и направление, определяется
условиями каждой отдельной задачи.
18

19.

Спасибо за внимание