урок 1

1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

2.

Сегодня, для записи чисел человечество
использует в основном десятичную систему
счисления.
Система счисления
- совокупность приемов
наименования и записи чисел. В любой
системе счисления для представления чисел
выбираются некоторые символы (их называют
цифрами), а остальные числа получаются в
результате каких-либо операций над цифрами
данной системы счисления.

3.

Различные системы счисления, которые
существовали раньше и которые используются в
настоящее время, делятся на две группы:
позиционные и непозиционные.
Позиционные системы счисления - системы записи
чисел, в которых вклад каждой цифры в величину
числа зависит от её положения (позиции) в
последовательности цифр, изображающей число.

4.

Системы счисления, в которых каждой цифре
соответствует величина, не зависящая от её
места в записи числа, называются
непозиционными.
Позиционные системы счисления - результат
длительного исторического развития
непозиционных систем счисления.
Алфавит –набор различных цифр, при помощи
которых могут записываться числа в данной
системе счисления.

5. Римская система

РИМСКАЯ СИСТЕМА
Знакомая нам римская система не слишком принципиально
отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10,
50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X,
C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы
счисления.
Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих
подряд цифр. Значение числа равно:
сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр
разности значений двух цифр, если слева от большей цифры
стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры
отнимается значение меньшей цифры.

6. Примеры

ПРИМЕРЫ
Пример 1. Число 32 в римской системе
счисления имеет вид
XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы
первого вида).
Пример 2. Число 444, имеющее в своей
десятичной записи 3 одинаковые цифры, в
римской системе счисления будет записано в
виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три
группы второго вида).
Пример 3. Число 1974 в римской системе
счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(MC)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с
группами обоих видов в формировании числа
участвуют отдельные "цифры").

7. Системы счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
10
2
8
16
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F

8. Представление чисел в позиционных системах счисления

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В
ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
22210=2*100+2*10+2*1 – Это развернутая форма записи
1223
1010110112
23FA16
657
15A16
2534110
253418
25389
Какое минимальное основание должна иметь система
счисления, если в ней записаны числа: 10, 21, 201, 1201;
403, 561, 666, 125;
122, 984, 1010, А219

9. Алгоритмы перевода чисел из одной позиционной системы исчисление в другую

АЛГОРИТМЫ ПЕРЕВОДА ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ
ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЕ В
ДРУГУЮ
1. Для перевода чисел из системы исчисления с основой p в
систему исчисления с основой q, нужно записать
коэффициенты разложения, основы степеней и показатели
степеней в системе с основой q и выполнить все действия в
этой самой системе. Очевидно, что это правило удобно при
переводе в десятичную систему исчисления. Например:
из двоичной в десятичную:
1101001012=1*1028+1*1027+ 0*1026+1*1025+0*1024+0*1023+
1*1022+0*1021+1*1020=
1*2108+1*2107+0*2106+1*2105+ 0*2104+0*2103+1*2102+0*2101+
1*2100=42110

10. Переведите в десятичную систему счисления

ПЕРЕВЕДИТЕ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ
СЧИСЛЕНИЯ
1234
1111011012
10112
10002
110012
B0F916
75258
8E516
32658
E5A16
FAD816
2758
6118
ABC16
532758
В группе 1111002%
девушек и 11002 юношей. Сколько
студентов учится в группе?
Упорядочить числа по убыванию: 1436, 509, 12223, 10114,
1100112, 1238

11. Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную

ПЕРЕВОД ЧИСЛА ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ
Пусть требуется найти
представление числа 12
в двоичной системе
счисления
Поступаем следующим
образом: делим, начиная
с 12, каждое
получающееся частное
на основание системы, в
которую переводим
число, то есть на 2.
Получаем:
Затем в направлении, указанном стрелкой, начиная с последнего частного (в нашем
случае оно всегда будет равно 1), записываемого в старший разряд формируемого
двоичного представления, фиксируем все остатки. В итоге получаем ответ: 1210=
11002.
Оба способа правильны и допустимы. Поэтому мы вправе выбрать его по своему
усмотрению.

12. Практика

ПРАКТИКА
1. Перевести числа 45, 513,
600, 602 из
десятичной системы счисления в двоичную.
2. Перевести числа 8700, 856, 664,78,214 из
десятичной системы счисления в
восьмеричную и шестнадцатеричную.

13. Перевод дробных чисел из 10-ой системы счисления в Р-ичную

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ 10-ОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В Р-ИЧНУЮ
1.Умножаем дробную часть числа на основание
новой системы счисления Р
2.Полученная целая часть является первой
цифрой нового числа в новой системе
счисления Р.
3.Выполняем пункт 1 и 2 выполняем четыре
раза

14. 0,65310 перевести в восьмеричную систему счисления с точностью до 4-х знаков Вертикальная черта отделяет целую часть от дробной

0,65310 ПЕРЕВЕСТИ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ
СЧИСЛЕНИЯ С ТОЧНОСТЬЮ ДО 4-Х ЗНАКОВ
ВЕРТИКАЛЬНАЯ ЧЕРТА ОТДЕЛЯЕТ ЦЕЛУЮ ЧАСТЬ ОТ
ДРОБНОЙ
0,653
8
5,224
8
1, 792
8
6, 336
8
2, 688
Получили четыре цифры нового числа
0,65310 = 0, 51628

15. Алгоритм перевода смешанного числа

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА СМЕШАННОГО
ЧИСЛА
Отдельно перевести целую часть
2. Дробная часть переводиться по
алгоритму перевода конечных
дробей
3. Результаты соединяются –
записываются через дробную
запятую, сначала целая часть, а
затем дробная
1.

16. Переведем 18956.20110 = (?)16

ПЕРЕВЕДЕМ 18956.20110 = (?)16
18956 16
0.201
16
1184 16
16
29
112 74 16
1.206
16
64 64 4
2.01
135
64 10
3.216
128
0
16
76
1.296
64
2.16
12
3.456
Ответ 18956.20110 = 4А0С.3316

17. Примеры

ПРИМЕРЫ
Х10-Х2
40,5
Х10-Х8
73,85
Х10 – Х16
107,85
31,75
124,25
69,48
84,25
185,93
258,18

18. Выполнить перевод из Х8 в Х2

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ Х8 В Х2
172,24
741,305
43,05

19. Выполнить перевод из Х16 в Х2

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ Х16 В Х2
1ЕС,9Е
8А45,В3
34DE,2B

20. Выполнить перевод из Х8 в Х16

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ Х8 В Х16
465.23
714.3
50.26
710.45
16.31
326.7

21. Выполнить перевод из Х2 в Х8

ВЫПОЛНИТЬ ПЕРЕВОД ИЗ Х2 В Х8
1010001001011
1011001101111
110001000100
1010.00100101
1110.01010001
1000.1111001

22.

Перевести из Х16 в Х8
DE1,6A
CB,19
EF,8A3
CF6,9
1EC,9E
8A45,B3

23. Арифметические операции в двоичной системе счисления

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В
ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
Из всех позиционных систем особенно
проста двоичная система счисления.
Рассмотрим выполнение основных
арифметических действий над двоичными
числами.
Все позиционные системы счисления
"одинаковы”, а именно, во всех них
выполняются арифметические операции по
одним и тем же правилам:
справедливы правила сложения, вычитания и
умножения столбиком;
правила выполнения арифметических
операций опираются на таблицы сложения и
умножения.

24. Сложение

СЛОЖЕНИЕ
Рассмотрим примеры на сложение.
При сложении столбиком двух цифр справа налево в двоичной системе
счисления, как в любой позиционной системе, в следующий разряд может
переходить только единица.
Результат сложения двух положительных чисел имеет либо столько же
цифр, сколько у максимального из двух слагаемых, либо на одну цифру
больше, но этой цифрой может быть только единица.

25. Вычитание

ВЫЧИТАНИЕ
Рассмотрим примеры
на вычитание.
При выполнении операции вычитания всегда из
большего по абсолютной величине числа
вычитается меньшее и у результата ставится
соответствующий знак.

26. Умножение

УМНОЖЕНИЕ
Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной
схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным
умножением множимого на очередную цифру множителя.
Рассмотрим примеры на умножение.
При выполнении умножения в примере 2 складываются три единицы 1+1+1=11 в
соответствующем разряде пишется 1, а другая единица переносится в старший разряд.
В двоичной системе счисления операция умножения сводится к сдвигам множимого и
сложению промежуточных результатов.

27. Практика

ПРАКТИКА
1011100 + 100101 =
10011101 – 11110 =
110101 . 1011 =

28. Домашнее задание

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Выполнить упражнения:
1.
101111 + 11101
2.
110011101 + 1000111
3.
101111 . 1111
4.
11110110 – 1110100
5.
1110101111 – 10000010